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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4133
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juni, 2004 - 09:36: | 
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Hi allerseits
Lockere Folge 406: zwei Ortskurven gesucht.
Diese Aufgabe bezieht sich auf konjugierte Halbmesser der Ellipse.
b^2 x^2 + a^2 y ^2 = a^2 b^2.
Vom allgemeinen Punk P dieser Ellipse aus tragen wir auf der
Kurvennormale n die Strecke OQ nach beiden Seiten ab;
O ist der Mittelpunkt der Ellipse, Q der Endpunkt des zu OP
gehörenden konjugierten Halbmessers.
Die Endpunkte dieser auf n liegenden Strecken seien N und M.
Welche Ortskurven beschreiben N und M, wenn P auf der Ellipse laeuft?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1410
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juni, 2004 - 12:44: |
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Hi megamath,
ich rechne nun schn ein paar Studen, aber irgendwo bleibe ich immer hängen!
Sei P(u/v) ein Punkt auf der Ellipse, dann gilt für OP:
y = v/u * x
In Q muss nun die Tangente parallel zu OP sein.
Die Steigung der Tangente erhalten wir hier über implizites Differenzieren:
y' = -(b^2*x) / (a^2*y)
Also y'(Q) = v/u
Ich finde nun aber keine Möglichkeit Q in Abhängigkeit von u und v darzustellen!
Ist die Methode mit der Differentialrechnung hier richtig? Vielleicht bin ich ja auch meilenweit vom Ziel entfernt...Dann musst du einen kleinen Tipp geben!
Jetzt fahr ich erstmal schwimmen, ist doch zu warm hier!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4134
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juni, 2004 - 13:25: |
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Hi Ferdi
Doppelt haelt besser:
es gibt verschiedene Arten des Schwimmens und viele Arten,eine Aufgabe zu loesen.
Soeben wollte ich einen Hinweis geben,war dazu jedoch zu traege.
Ich hole es nach.
Man verwendet fuer die E. mit Vorteil die Parameterdarstellung
x = a cos t , y = b sin t .
Die Halbmesser OP,OQ werden konjugiert,indem man
fordert:
OP^2 + OQ^2 = a^2 + b^2
Auch der Normalenvektor in P,besonders sein Betrag,wird gefaellig,wenn man diese Relation benützt........
Vielleicht reicht das?
Wenn ich das Ergebnis (nur qualitativ,nicht quantitativ)
verrate,liegt die Gleichung offen da !
Das war sibyllinisch!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4135
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juni, 2004 - 19:39: |
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Hi allerseits
Die beiden Ortskurven sind Kreise!
Wenn diese Kenntnis gesichert ist, lassen sich
die Gleichungen sofort bestimmen!
Gleichwohl sollte die Aufgabe mit meinen Hinweisen geloest
werden.
Mfg
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1412
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juni, 2004 - 22:34: |
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Hi megamath,
irgendwie will es heute nicht klappen, und jetzt lässt auch die Konzentration nach...
Mir ist auch anschaulich klar, wofür man den Normalenvektor n braucht! Staucht man diesen auf Einheitslänge [ |n|=1 ] , so muss man nur dies rechnen: OP+|OQ|*n = M und OP-|OQ|*n = N. Man könnte dann den Parameter t eliminieren...
Aber mir will die Rechnung einfach nicht gelingen! Vielleicht schaffts wer anders, oder du musst es mal zeigen...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4136
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 08:29: |
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Hi allerseits
Ich zeige einen möglichen Lösungsweg!
Bezeichnungen:
t: Parameter in der Ellipsengleichung
x= a cos t , y = b sin t ; t heisst in diesem Zusammenhang
exzentrische Anomalie
x° erste Ableitung von x nach t
y° erste Ableitung von y nach t
a,b: Halbachsen
O Mittelpunkt der Ellipse.
OP,OQ ein Paar konjugierter Halbmesser
a´ ist der Betrag des Vektors OP
b´ ist der Betrag des Vektors OQ
n : Normalenvektor der E. in P (Parameterwert t)
N : Betrag von n
n*: Einheitsvektor in Richtung von n
Berechnungen:
x° = - a sin t ; y° = b cos t, daraus
Steigung m der Ellipsennormalen in P:
m = - x°/y° = a/b * ( sin t / cos t );
Normalenvektor n :
n = {b cos t ; a sin t},daraus gilt für dessen Betrag:
N = sqrt [a^2 (sin t)^2 + b^2 (cos t)^2]
N lässt sich umformen, wenn von der Beziehung
a´^2 + b´^2 = a^2 + b^2 für konjugierte
Halbmesser Gebrauch gemacht wird;
wir lösen nach b´^2 auf:
b´^2 = a^2 + b^2 - a´^2 =
a^2 + b^2 – [a^2 (cos t)^2 + b^2 (sin t )^2] =
a^2 (sin t)^2 + b ^2 (cost) ^2
Es geschehen Zeichen und Wunder:
der zuletzt angeschriebene Term ist justement
N^2 (!).
Somit gilt:
N = OQ = b´……………………………………(R)
°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4137
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 08:41: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 406
Fortsetzung
Ermittlung der Ortskurven
(Voraussetzung a > b)
1.Fall:
Die Strecke OQ wird auf der Normalen von P aus nach aussen abgetragen;
Po(xo/yo) sei der Endpunkt der Strecke
Die Bedingung für die gesuchte Ortskurve lautet:
xo = a cos t + b´/ N b cos t
yo = b sin t + b´/ N a sin t
also wegen (R)
xo = a cos t + b´/ b´ b cos t = a cos t + b cos t
yo = b sin t + b´/ b´ a sin t = b sin t + a sin t
Eliminiert man t , so entsteht die vorausgesagte
Kreisgleichung
xo^2 + yo^2 = (a+b)^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Fall:
Die Strecke OQ wird auf der Normalen von P aus nach innen abgetragen;
Po(xo/yo) sei der Endpunkt der Strecke
Die Bedingung für die gesuchte Ortskurve lautet:
xo = a cos t - b´/ N b cos t
yo = b sin t - b´/ N a sin t
also wegen (R)
xo = a cos t - b´/ b´ b cos t = a cos t - b cos t
yo = b sin t - b´/ b´ a sin t = b sin t - a sin t
Eliminiert man t , so entsteht die vorausgesagte
Kreisgleichung
xo^2 + yo^2 = (a - b)^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath
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