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Lösung zu DGL gesucht

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Cat99s (Cat99s)
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Neues Mitglied
Benutzername: Cat99s

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 14:46:   Beitrag drucken

Hallo,

ich suche die lösung einer differentialgleichung.

y´´ + 2y´ + 3y = e^-2x mit y(0) = 0, y´(0) = 4

leider habe ich die allgemeine lösung auch noch nicht herausbekommen. Es wäre also echt super, wenn mir hier jemand helfen könnte.


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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 872
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 15:47:   Beitrag drucken

Hallo,

Das charakteristische Polynom für die homogene
(verkürzte) Dgl.

(1) y''+2y'+3y=0

lautet

l2+2l+3,

seine Nullstellen sind

l1,2 = - 1 ± i*sqrt(2). Also bilden

e-x*cos(sqrt(2)*x) , e-x*sin(sqrt(2)*x)

ein Fundamentalsystem von Lösungen für (1).
Um eine partikuläre Lösung yp(x) der gegebenen
inhomogenen Dgl. zu ermitteln, versuche den
Ansatz

yp(x) = C*e-2x.

Die allgemeine Lösung von (1) lautet dann

y = C1*e-x*cos(sqrt(2)*x)

+C2*e-x*sin(sqrt(2)*x) + yp(x).

Bestimme die Koeffizienten C1,2 aus den Anfangsbedingungen.
mfG Orion
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Cat99s (Cat99s)
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Benutzername: Cat99s

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 17:02:   Beitrag drucken

hallo,

danke erstmal für deine ausführliche antwort. soweit ist mir das jetzt alles klar, aber kannst du mir bitte nochmal erklären, wie ich genau die koeffizienten c1 und c2 bestimme. ich bekomm das irgendwie nicht hin.

danke!

mfg
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 873
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 07:32:   Beitrag drucken

Hallo,

Setze in den allgemeinen Lösungsterm x=0 ein:

y(0) = C1 + (1/3) = 0 => C1 = - 1/3

Werte ebenso die 2. Anfangsbedingung
y'(0)=4 aus.

(Beitrag nachträglich am 19., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Cat99s (Cat99s)
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Benutzername: Cat99s

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 14:28:   Beitrag drucken

Hallo,

tut mir leid, aber ich komme einfach nicht auf das ergebnis.

Ich soll in den allgemeinen lösungstherm x=0 einsetzen, d. h. also, ich soll in

y = C1*e-x*cos(sqrt(2)*x) + C2*e-x*sin(sqrt(2)*x) + yp(x), mit yp = 1/3*e-2x

alle x gleich null setzen und den therm nach C1 auflösen, oder wie?

Bisher habe ich das immer so gemacht:

Beispiel:

Yp= C1*e-16x + C2*e-4x (allgemeine lösung) y(0)=0 und y´(0)=2

Y(0)=0 --> C1 + C2 = 0; C2 = -C1

Y´(0)=2 --> -16 C1 – 4 C2 = 2 mit C2 = -C1

-16 C1 + 4 C1 = 2

C1 = - 1/6 und C2 = 1/6


Beispiel ende

Das entspricht ja auch deinem lösungsvorschlag, aber irgendwie wills nicht klappen.

Wäre also supernett, wenn du mir das noch mal ausführlich erklären könntest, auch wie ich mit y´(0)= 4 verfahren soll.

DANKE dir schon mal für deine mühe.

mfg




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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 874
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 15:57:   Beitrag drucken

y(0) = C1*e-0*cos(sqrt(2)*0)

+C2*e-0*sin(sqrt(2)*0)+(1/3)*e-2*0 =

C1*1*cos(0) + C2*1*sin(0)+(1/3)*1 =

C1 + 1/3

Beachte : e0 = 1 , cos(0) = 1 , sin(0) = 0.

Rechne nun y'(x) aus (Produktregel, Kettenregel !)
und verfahre ebenso !

mfG Orion

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