Autor |
Beitrag |
Cat99s (Cat99s)
Neues Mitglied Benutzername: Cat99s
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 14:46: |
|
Hallo, ich suche die lösung einer differentialgleichung. y´´ + 2y´ + 3y = e^-2x mit y(0) = 0, y´(0) = 4 leider habe ich die allgemeine lösung auch noch nicht herausbekommen. Es wäre also echt super, wenn mir hier jemand helfen könnte.
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 872 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 15:47: |
|
Hallo, Das charakteristische Polynom für die homogene (verkürzte) Dgl. (1) y''+2y'+3y=0 lautet l2+2l+3, seine Nullstellen sind l1,2 = - 1 ± i*sqrt(2). Also bilden e-x*cos(sqrt(2)*x) , e-x*sin(sqrt(2)*x) ein Fundamentalsystem von Lösungen für (1). Um eine partikuläre Lösung yp(x) der gegebenen inhomogenen Dgl. zu ermitteln, versuche den Ansatz yp(x) = C*e-2x. Die allgemeine Lösung von (1) lautet dann y = C1*e-x*cos(sqrt(2)*x) +C2*e-x*sin(sqrt(2)*x) + yp(x). Bestimme die Koeffizienten C1,2 aus den Anfangsbedingungen. mfG Orion
|
Cat99s (Cat99s)
Neues Mitglied Benutzername: Cat99s
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 17:02: |
|
hallo, danke erstmal für deine ausführliche antwort. soweit ist mir das jetzt alles klar, aber kannst du mir bitte nochmal erklären, wie ich genau die koeffizienten c1 und c2 bestimme. ich bekomm das irgendwie nicht hin. danke! mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 873 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 07:32: |
|
Hallo, Setze in den allgemeinen Lösungsterm x=0 ein: y(0) = C1 + (1/3) = 0 => C1 = - 1/3 Werte ebenso die 2. Anfangsbedingung y'(0)=4 aus. (Beitrag nachträglich am 19., Mai. 2004 von Orion editiert) mfG Orion
|
Cat99s (Cat99s)
Neues Mitglied Benutzername: Cat99s
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 14:28: |
|
Hallo, tut mir leid, aber ich komme einfach nicht auf das ergebnis. Ich soll in den allgemeinen lösungstherm x=0 einsetzen, d. h. also, ich soll in y = C1*e-x*cos(sqrt(2)*x) + C2*e-x*sin(sqrt(2)*x) + yp(x), mit yp = 1/3*e-2x alle x gleich null setzen und den therm nach C1 auflösen, oder wie? Bisher habe ich das immer so gemacht: Beispiel: Yp= C1*e-16x + C2*e-4x (allgemeine lösung) y(0)=0 und y´(0)=2 Y(0)=0 --> C1 + C2 = 0; C2 = -C1 Y´(0)=2 --> -16 C1 – 4 C2 = 2 mit C2 = -C1 -16 C1 + 4 C1 = 2 C1 = - 1/6 und C2 = 1/6 Beispiel ende Das entspricht ja auch deinem lösungsvorschlag, aber irgendwie wills nicht klappen. Wäre also supernett, wenn du mir das noch mal ausführlich erklären könntest, auch wie ich mit y´(0)= 4 verfahren soll. DANKE dir schon mal für deine mühe. mfg
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 874 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 15:57: |
|
y(0) = C1*e-0*cos(sqrt(2)*0) +C2*e-0*sin(sqrt(2)*0)+(1/3)*e-2*0 = C1*1*cos(0) + C2*1*sin(0)+(1/3)*1 = C1 + 1/3 Beachte : e0 = 1 , cos(0) = 1 , sin(0) = 0. Rechne nun y'(x) aus (Produktregel, Kettenregel !) und verfahre ebenso !
mfG Orion
|
|