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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4005
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 13:17: | 
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Hi allerseits
Zur Entspannung erscheint nochmals
eine Aufgabe mit einem differentialgeometrischen Touch
Die Aufgabe LF 364 lautet.
Gegeben ist die algebraische Kurve dritter Ordnung
y ( x^2 + a^2 ) - a^2 ( a – x ) = 0 ; a ist eine positive Konstante.
Man ermittle die Koordinaten der drei Wendepunkte, sowie die
Steigungen der Wendetangenten.
Die Wendepunkte liegen auf einer Geraden g.
Wie lautet eine Gleichung von g ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 866
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 15:38: |
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Megamath,
die Wendepunktabszissen ermittelt man aus der
kubischen Gleichung
x3-3ax2-3a2x+a3 = 0.
Die Nullstelle -a erkennt man durch scharfes Hinsehen. Der Rest ist Fleissarbeit. Ergebnis:
W1 = (-a,a),
W2=( (2-sqrt(3))a , (1+sqrt(3))a/4 ),
W3 = ( (2+sqrt(3))a , (1-sqrt(3)a/4 ).
Diese Punkte liegen auf der Geraden
g : x + 4y - 3a = 0.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1349
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 15:48: |
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Hi Orion und megamath,
wollte auch gerade posten,
daher nur der Rest:
Die Steigungen der Wendetangenten:
m von W1 : (1/2)
m von W2 : -(5 + 3*sqrt(3))/8
m von W3 : (3*sqrt(3) - 5)/8
Vielleicht sollte man hinzufügen, das sich die ganze Aufgabe auf eine simple Kurvendiskussion zurückführen lässt:
Betrachtet man:
y(x^2+a^2) - a^2(a-x) = 0
y = a^2 (a - x) / (x^2 + a^2)
Der Zähler von y'' entspricht Orions Gleichung zur Ermittlung der Wendepunkte!
mfg
(Beitrag nachträglich am 11., Mai. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4006
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 16:33: |
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Hi Orion,Hi Ferdi
Schneller als erwartet liegen die Lösungen vor.
Es ist alles in bester Ordnung; danke!
Dank einer Fleissarbeit sind auch die Steigungen der Wendetangenten richtig berechnet.
MfG
H.R.Moser,megamath
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