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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3998 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 15:03: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 363 Zur Entspannung: eine Aufgabe mit geometrischem Einschlag: Gegeben wird die algebraische Kurve vierter Ordnung 2 x^4 - 2 x^2 * y^2 + y^4 - x^2 * y - y^3 - 4 x^2 – 3 y^2 + y +2 = 0 Die Kurve hat drei Doppelpunkte, drei Hoch- und drei Tiefpunkte. Man ermittle die Koordinaten dieser ausgezeichneten Punkte sowie die Steigungen der Tangenten in den Doppelpunkten. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1347 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 21:22: |
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Hi megamath, ich rätsele nun schon seit einem Tag an der Kurve! Ich finde keine geeignete Parametrisierung. Kannst du mir einen kleinen Hinweis geben? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4001 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 21:51: |
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Hi Ferdi Eine Parametrisierung ist nicht angezeigt. Beachrte die Symmetrie und schneide die Kurve mit den Koordinatenachsen. Dann hast Du schon fünf wesentliche Punkte ! Um die Steigungen der Tangenten zu bekommen, wird man implizit nach x differenzieren. Die Ermittlung der Hoch- und Tiefpunkte ausserhalb der Koordinatenachsen soll wegfallen. MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1348 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 16:15: |
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Hi megamath, die Punkte ergeben sich dann aus den Gleichungen: 2x^4 - 4x^2 + 2 = 0 und y^4 - y^3 - 3y^2 + y + 2 = 0 D.h. S1 ( 1 | 0 ) ; S2 ( -1 | 0 ) ; S3 ( 0 | 1 ) ; S4 ( 0 | -1 ) ; S5 ( 0 | 2 ) Als Ableitung erhalte ich: 8x^3 - 4xy^2 - 4x^2yy' + 4y^3y' - 2xy - x^2y' - 3y^2y' - 8x - 6yy' + y' = 0 y ' = (8x^3 - 4xy^2 - 2xy - 8x)/(4x^2y - 4y^3 + x^2 + 3y^2 + 6y - 1) Setze ich da aber die Werte der fünf Punkte ein, erhalte ich keine Vernünftigen Ergebnisse! Ich kann mir auch gar kein bild von der Kurve machen..., wäre dies mit Maple möglich? Das Programm scheint einiges zu können! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4002 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 18:05: |
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Hi Ferdi Aus Zeitmangel kann ich erst morgen näher auf Deine Lösung eingehen. Heute nur dies Die Doppelpunkte sind D1(0/1),D2(1/0),D3(-1/0) Für y' erscheinen hier unbestimmte Ausdrücke 0 über null ! T(0/2) ist ein Tiefpunkt. usw. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4003 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 09:20: |
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Hi Ferdi Die von Dir berechneten Daten sind alle richtig, auch die Ableitung y´ ist ok. Ich gebe noch die restlichen Daten zur Kontrolle: Die Doppelpunkte samt Tangentensteigungen: D1(0/-1); mI = 1/6 sqrt(30) ; mII = -1/6 sqrt(30) D2(1/ 0); mI = (-1 + sqrt(41))/5 ; mII = (-1 - sqrt(41))/5 D3(-1/0); mI = (1 + sqrt(41))/5 ; mII = (1 - sqrt(41))/5 (Korrektur bei D1 gegenüber einer früheren Mitteilung) Maxima: H1(0/1) H2~(3,87/ 5,04) H3~(-3,87/5,04) Minima T1(0/2) T2~(1,60/ -2,04) T3~(-1,60/-2,04) Um die Steigungen der Tangenten in den Doppelpunkten zu erhalten, sind gewisse Rechnungen mit partiellen Ableitungen durchzuführen. Dies soll in einem spätern Beitrag geschehen. Maple kann die Kurve zeichnen! Der Befehl lautet: with(plots); implicitplot(f(x,y)=0,x=-4,4,y=-6..6); Fortsetzung folgt H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4004 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 09:54: |
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Hi allerseits Auszug aus der Theorie: Ohne Beweis sei Folgendes zu den singulären Punkten einer algebraischen Kurve mitgeteilt. Die Gleichung der Kurve laute: f(x,y) = 0. Wir bilden die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x,y) der linken Seite nach x und y; Bezeichnungen: fx,fy; wir berechnen ferner die entsprechenden partiellen zweiten Ableitungen, die so bezeichnet werden sollen: fxx,fyy,fxy. Zusätzlich benötigen wir noch die Determinante D = (fxy)^2 – fxx fyy Singuläre Punkte sind dadurch charakterisiert, dass in ihnen gleichzeitig f(x,y) = 0 , fx = 0 , f y = 0 gilt. Dadurch entsteht für y´= -fx/fy ein unbestimmter Ausdruck. Gleichwohl lässt sich y´ berechnen und zwar aus der Gleichung fxx + 2 y´* fxy + (y´)^2 * fyy = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Ist fyy von null verschieden, so treten die folgenden Fälle ein: 1.Fall; D>0: Doppelpunkt mit zwei verschiedenen Tangenten 2.Fall; D=0: Rückkehrpunkt(Spitze) 3.Fall; D<0: Einsiedlerpunkt (ohne Tangente) Für fyy = 0 gibt es einen Doppelpunkt mit einer zur y-Achse parallelen (einzigen) Tangente. So viel und so wenig ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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