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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3946
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 18:18: | 
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Hi allerseits
Ich kann heute rechnen, was ich will, es stellt sich
als Ergebnis etwas „Hübsches“ ein, und zwar tritt stets
dieselbe Verbindung HI = sqrt(3) * Pi auf.
so auch in dieser Aufgabe LF 345.
Gegeben ist f(k) = k(1 + k) / [(1/3 + k)*(2/3 + k)]
k = 1,2,3 …
Man bilde das unendliche Produkt
PP =product [f(k)] für k = 1 ad infinitum.
Man leite die Beziehung her:
PP = GAMMA(4/3) * GAMMA(5/3) / GAMMA(2)
= 4/27 * HI.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 772
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 00:37: |
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f(k) = k(1 + k) / [(1/3 + k)*(2/3 + k)]
PP = 1*2 * 2*3 * 3*4 * 4*5 * ... * (n-1)*n * n*(n+1) /
[ 4/3*5/3 * 7/3*8/3 * 10/3*11/3 * ... * (3n-2)/3*(3n-1)/3 * (3n+1)/3*(3n+2)/3 ] =
1*2 * 2*3 * 3*4 * 4*5 * ... * (n-1)*n * n*(n+1) * 3^(2n) /
[ 4*5 * 7*8 * 10*11 * ... * (3n-2)*(3n-1) * (3n+1)*(3n+2) ] =
1*2 * 1*2 * 2*3 * 3*4 * 4*5 * ... * (n-1)*n * n*(n+1) * 3^(2n) /
[ 1*2 * 4*5 * 7*8 * 10*11 * ... * (3n-2)*(3n-1) * (3n+1)*(3n+2) ] =
1*2 * 1*2 * 2*3 * 3*4 * 4*5 * ... * (n-1)*n * n*(n+1) * 3^(3n) * n! /
[ 1*2 * 3 * 4*5 * 2*3 * 7*8 * 3*3 * 10*11 * ... * (3n-2)*(3n-1) * n*3 * (3n+1)*(3n+2) ] =
1*2 * 1*2 * 2*3 * 3*4 * 4*5 * ... * (n-1)*n * n*(n+1) * 3^(3n) * n! / [ (3n+3)!/(3n+3) ] =
1*2 * 2 * 3 * 4 * 5 * ... * n * (n+1) * 3^(3n) * (n!)^2 / [ (3n+3)!/(3n+3) ] =
(n+1)! * 3^(3n+1) * (n!)^2 / [ (3n+3)!/(n+1) ] =
((n+1)!)^2 * 3^(3n+1) * (n!) / [ (3n+3)! ] =
(n!)^3 * 3^(3n+1) * (n+1)^2 / [ (3n+3)! ] =
(n!)^3 * 3^(3n) * 3*(n+1)^2 / [ (3n+3)! ] =
(n! * 3^n)^3 * 3*(n+1)^2 / [ (3n+3)! ] = ...
mal eine Abschätzung mit Steyrling
((n/e)^n * 3^n)^3 * 3*(n+1)^2 / [ ((3n+3)/e)^(3n+3) ] * (2pi*n)^(3/2) / (2pi*(3n+3))^(1/2) =
2pi*n * (3*(n/e))^(3n) * 3*(n+1)^2 / [ ((3n+3)/e)^(3n+3) ] * (n/(3n+3))^(1/2) =
2pi*n * (3*(n/e))^(3n) * 3*(n+1)^2 / [ ((3n+3)/e)^(3n) * ((3n+3)/e)^3 ] * (n/(3n+3))^(1/2) =
2pi*n * (3*(n/e))^(3n) * 3*(n+1)^2 / [ (3*(n+1)/e)^(3n) * 3^3 * ((n+1)/e)^3 ] * (n/(n+1))^(1/2) / sqrt(3) =
2pi*n * (n/(n+1))^(3n) * 3*(n+1)^2 / [ 3^3 * ((n+1)/e)^3 ] * (n/(n+1))^(1/2) / sqrt(3) =
2pi*n * (n/(n+1))^(3n+1/2) * 3*(n+1)^2 / [ sqrt(3) * 3^3 * ((n+1)/e)^3 ] =
2pi*n*e^3 * (n/(n+1))^(3n+1/2) / [ sqrt(3) * 3^2 * (n+1) ] =
2pi*e^3 * sqrt(3) * (n/(n+1))^(3n+1+1/2) / 3^3 =
ad finitum: 2pi*(e/3)^3 * sqrt(3) < 10
wie geht das wirklich?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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