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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3949
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 20:46: | 
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Hi allerseits
Schon wieder dieses Resultat!
Ich kann heute rechnen, was ich will, es stellt sich
stets der Term sqrt(3) * Pi ein,
so auch in dieser Aufgabe LF 346.
Gegeben ist g(k) = 4/( 27 k^2 + 27 k + 6)
k = 1,2,3 …
Man bilde die unendliche Summe
S = sum [g(k)] für k = 0 ad infinitum.
Man beweise:
S = 4/27 Pi sqrt(3).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1318
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 22:48: |
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Hi megamath,
normal habe ich kein Glück mit Reihen, aber mir fiel da noch eine Methode ein, die ich mal gesehen habe:
S = (4/3) sum [ 1 / (9n^2 + 9n + 2) ] [0..inf]
1/(9n^2 + 9n + 2) = 1/(3n+1) - 1/(3n+2)
Lassen wir die multiplikative Konstante mal bei Seite:
sum [ 1/(3n+1) - 1/(3n+2) ] [0..inf]
sum [ int[e^{-(3n+1)t} - e^{-(3n+2)t} dt] (0..inf)] [0..inf]
Vertauschen von Summe und Integral:
int[ sum[e^{-(3n+1)t} - e^{-(3n+2)t} [0..inf]] dt] (0..inf)
Das sind schöne geometrische Reihen! Alles Umformen liefert ein schönes Integral:
int[ {e^(-t) - e^(-2t)} / (1 - e^(-3t)) dt] [0..inf]
int[ 1/(x^2+x+1) dx ] [1..inf]
Das Integral hat den Wert : [pi*sqrt(3)]/9
Insgesamt also mit unserer Konstanten:
S = sum[g(k)] = 4/3 * sum[ 1/(9n^2 + 9n + 2) ]
S = 4/3 * [pi*sqrt(3)]/9
S = 4/27 pi sqrt(3)
q.e.d. |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3950
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 17:58: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine Lösung!
Die Ermittlung der Reihensumme ist recht abenteuerlich;
das Resultat ist i.O.!
Die Substitution im letzten Integral ist richtig, aber
vielleicht nicht sofort durchschaubar.
In der folgenden LF Aufgabe 347
erscheint ein analoges Integral.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1321
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 22:29: |
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Hi megamath,
darf ich fragen welche Methode du vorschlägst um die Summe der Reihe zu bestimmen?
Vielleicht sind meine Ausführungen tatsächlich ein wenig unübersichtlich, daher hier noch mal die Idee dahinter in Worten:
1.) Partialbruchzerlegung
2.) Stammbrüche 1/(an+b) durch das Integral int[ e^(-t(an+b)) dt] [0..inf] ersetzen
3.) Summe und Integral vertauschen
4.) Die dann entstandenen Geometrischen Reihen berechnen
5.) Integrieren
Dieses Verfahren hilft auch bei vielen Aufgaben, in denen Teleskopsummen auftreten!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3952
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 10:47: |
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Hi Ferdi
Es ist gar nichts gegen das von Dir gewählte Verfahren einzuwenden!
Damit andere Teilnehmer von den Herleitungen profitieren können,
sind ausführliche Herleitungen sehr erwünscht.
Gute Dienste leistet dabei auch eine Beschreibung der Ideen und
Geistesblitze, die zur Lösung führen können.
Danke für Deine Zusammenfassung!
Es gibt schon andere Verfahren; vielleicht zeigt uns jemand
sein Hausrezept.
Ich halte mit der Präsentation einer andern Methode zurück
und stelle eine neue Reihenaufgabe, bei der verschiedene
Lösungs-Methoden gezeigt werden sollen.
Diese (einfache) Aufgabe lautet:
Man bestimme die Summe der unendlichen Reihe
S:= sum [1/{(n+1)(2n+1)}] , n = 1 ad infinitum.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1322
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 14:48: |
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Hi megamath!
Bei dieser Aufgabe habe ich schon wieder kein Glück!
Ist die Summe ln(2) - 1 ??
Dann wäre eine möglich Lösung:
Partialbruchzerlegung:
Ansatz: A/(n+1) + B/(2n+1)
==> A = -1 , B = 2
sum[ 2/(2n+1) - 1/(n+1) ] [1..inf]
Schreibt man sich einige Glieder auf:
2/3 - 1/2 + 2/5 - 1/3 + 2/7 - 1/4 + 2/9 - 1/5...
Fasst man das ein wenig zusammen:
- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5
Addieren wir 1 und ziehen es sofort ab:
-1 + { 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4....}
-1 + sum[ -1^(k+1) / k ] [1..inf]
-1 + ln(2)
Aber da habe ich Zweifel dran...darf ich da denn so groß umstellen etc? Rechne ich nämlich mit der normalen Summe ein wenig rum, so erhalte ich S ~ 0,36
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3953
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 16:39: |
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Hi Ferdi
Das richtige Resultat ist
S = 2 ln2 – 1 ~ 0.38629
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Es ist auch hier zweckmäßig, die allgemeinere Reihe
S(x) = sum [1/{(n+1)(2n+1)} * x^(2n+1) ] , n = 1 ad infinitum
mit abs(x) <1 zu bearbeiten.
Dann vorsichtig mit x = 1 probieren, hihi.
Die Reihensumme ist:
S(x) = ln {(1+x) / (1-x)} + 1/x * ln (1 - x^2) – x .
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1325
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 22:51: |
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Hi megamath,
da fehlt mir doch (noch??) ein wenig der Background, um so an diese Aufgaben heranzugehen!
Aber da wird ja in den nächsten Jahren dran gearbeitet...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3956
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2004 - 12:47: |
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Hi Ferdi
Ich zeige eine Herleitung der Summe der erwähnten
Potenzreihe und gehe dabei mit einer gehörigen
Nonchalance ans Werk!
Die Reihe lautet:
S(x) = sum [1/{(n+1)(2n+1)} * x^(2n+1) ] , n = 1 ad infinitum
Das Resultat lautet:
Für - 1 < x < 1 gilt
S(x) = ln {(1+x) / (1-x)} + 1/x * ln (1 - x^2) – x.
Wenn wir die Reihe gliedweise differenzieren,
entsteht cum grano salis:
S´(x) = sum [1/(k+1) x^(2k), k= 1 ..infinity]
Leichte Umformung:
S´(x) = - 1/x^2 * {- x^2 – x^4/2 - x^6 /3 – x^8 / 4-…..} - 1
Die Summe der Reihe in der eckigen Klammer ist
ln(1-x^2).
Für S(x) gilt die durch einfache Integration zu lösende
Differentialgleichung
S(x) ´= - 1 / x^2 * ln ( 1 – x^2 ) – 1.
Diese Integration ergibt mit C als Integrationskonstante
S = 1/x * ln(1-x^2) + 2 artanh x – x + C oder
S = 1/x * ln(1-x^2) + 2* ½* ln {(1+x) / (1-x)} – x + C
Da S(0) = 0 gilt, ist C null zu setzen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1326
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2004 - 14:39: |
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Hi megamath,
diese Art von Lösung war mir noch nicht bekannt! Sie war mal wieder sehr lehrreich!
Besten Dank!
mfg |
