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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3931
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 20:23: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 338 erscheint als Aufgabe F 22;
sie lautet:
Man berechne für die Konstante p das Integral
P := int [{(cos t + sin t) / (cos t - sin t)}^ p dt ],
untere Grenze – ¼ Pi. obere Grenze ¼ Pi.
P ist als Funktion von p darzustellen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 768
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 23:03: |
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P := int [{(cos t + sin t) / (cos t - sin t)}^ p dt ]
(cos t + sin t) / (cos t - sin t) = (cos t + sin t)^2 / (cos^2 t - sin^2 t) = (cos^2 t + sin^2 t + 2 sin t cos t) / (cos^2 t - sin^2 t) = (1 + sin(2t)) / cos(2t) = 1/cos(2t) + tan(2t)
und das konvergiert schon mal nicht für p = 1
mit den Schranken -pi/4 und pi/4;
was is da faul?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1310
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 23:26: |
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Hi megamath,
zum Ende des Tages noch dieses :
Wir fomen den Integranden wieder um:
[(1+tan(t))/(1-tan(t))]^p
Jetzt wieder:
tan(t) = x ==> dt = dx / (1+x^2)
[-pi/4..pi/4] ==> [-1..1]
int[{(1+x)/(1-x)}^p 1/(1+x^2) dx] [-1..1]
Dies ist wieder das Integral E* von gestern, diesmal für:
m = (1+p)/2 ; n = (1-p)/2
Wir haben:
P = (1/2) * {G((1+p)/2)*G((1-p)/2) / G(1)}
Setze (1+p)/2 = r ==> (1-p)/2 = 1-r
P = 1/2 * {G(r)*G(1-r)}
Also dank Euler und Sinusadditiontheorem:
P(p) = pi/2 * 1/cos(pi * p/2)
Man muss allerdings Einschränkungen für p vornehmen! Ich glaube |p|<1. Stimmt das?
Dies hat auch LF337 mit p = -(1/2)
P* = pi/2 * 1/cos(-pi/4)
P* = pi/sqrt(2) = W wie gehabt!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3933
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 08:55: |
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Hi Ferdi; Hi Werner
Besten Dank für Euren Beitrag!
Gratulation: Ihr habt beide bemerkt, dass das Integral
nur mit Einschränkungen für p existiert.
Die Bedingung lautet: abs (p) < 1, wie Ferdi bereits feststellte.
Ich hatte mit voller Absicht diese Klausel in der Aufgabenstellung
unterdrückt, da ich die Gewissheit hatte (mit Recht offenbar),
dass potentielle Aufgabenlöser dies eo ipso sofort merken.
Im Manuskript hatte ich sogar den Exponenten durch
p = cos (2 tau) ersetzt.
Damit ergibt sich das folgende Schlussresultat:
P = Pi / [2 sin{Pi * (cos tau)^2}]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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