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Binomischer Lehrsatz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Binomischer Lehrsatz « Zurück Vor »

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Jamil_x (Jamil_x)
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Benutzername: Jamil_x

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 19:56:   Beitrag drucken

hallo,

nach stunden muss ich es jetzt nun hier probieren:

die Summe "S" mit dem Startwert i=0 soll laufen bis n:

S von (-1)^i/i+1 mal "n über i" = 1/(n+1)

ihr seht da steckt der binomische lehrsatz drin mit x=1 und y=-1 wenn (x+y)^n

ich hoffe jemand kann mir einen tip geben
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 841
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 07:52:   Beitrag drucken

Jamil,

Vorschlag:

Betrachte das Polynom

f(t) := (1-t)n = Sn i=0 (-1)i*binom(n,i)*ti

Integriere diese Gleichung beiderseits von t=0 bis
t=x. Dann ergibt sich

ò0 x f(t)dt = [1-(1-x)n+1]/(n+1)=

Sn i=0 (-1)i*binom(n,i)*xi+1/(i+1)

Mit x=1 erhältst du das gewünschte Resultat.
mfG Orion
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Jamil_x (Jamil_x)
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Benutzername: Jamil_x

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 14:03:   Beitrag drucken

vielen dank erst ein mal, aber ich hab es die ganze zeit versucht mit der vollst. induk. durchzuführen. dabei muss ich meine summe mit (n+1)/(n+2) multiplizieren, da doch angenommen für n es gilt, also

1/n+1

so kann ich hier n+1 einsetzten.

1/(n+1)*(n+1)/(n+2)

ich hab versucht die ganzen fakultäten auszurechnen, die schranken der summe verändert indem man erstes oder letztes glied der summe herausnimmt. aber nichts hilft wirklich....

vielleicht dahingehend einen tip?
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 842
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 14:59:   Beitrag drucken

Jamil,

alternativer Vorschlag :

Es ist binom(n+1,i+1) = [(n+1)/(i+1)]*binom(n,i) =>

[1/(i+1)]*binom(n,i) = [1/(n+1)]*binom(n+1,i+1).

Nun kann man 1/(n+1) ausklammern und auf die
verbleibende Summe direkt den binomischen
Satz anwenden.
mfG Orion
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Jamil_x (Jamil_x)
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Benutzername: Jamil_x

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 13:36:   Beitrag drucken

hallo orion,

sorry ich habs immer noch nicht. ich hatte extra eine gescannte kopie vorbereitet, jedoch erschien immer wieder ein fehler beim versenden der nachricht. ich versuche mein hauptproblem zu schildern:

Sn i=0 (-1)i*binom(n+1,i+)*1/n+2=1/n+2

wie kann ich nun diesen term umformen damit es wie folgt aussieht:

Sn+1 i=0 (-1)i*binom(n+1,i)*1/(i+1)=1/n+2

hier komme ich einfach nicht weiter. ich drehe mich nur im kreis. ich bekomme einfach dieses 1/n+2 nicht in die summe rein...


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Jamil_x (Jamil_x)
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Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 13:38:   Beitrag drucken

ich hab vergessen das

"Sn i=0 " steht für summe mit anfangswert i=0 und endwert n

"Sn+1 i=0 " steht für summe mit anfangswert i=0 und endwert n+1

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Jamil_x (Jamil_x)
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Benutzername: Jamil_x

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 13:39:   Beitrag drucken

es heißt natürlich:

Sn i=0 (-1)i*binom(n+1,i+1)*1/n+2=1/n+2

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 843
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 14:08:   Beitrag drucken

Jamil,


S(n) := Sn i=0 (-1)i*binom(n,i)/(i+1)

ist gesucht, oder ? Nun gilt (binomischer Satz !)

0 = (1-1)n+1

= Sn+1 i=0 (-1)i*binom(n+1,i)

= 1 - Sn i=0 (-1)i*binom(n+1,i+1)

= 1 - (n+1)*Sn i=0 (-1)i*binom(n,i)/(i+1)

= 1 - (n+1)*S(n) => S(n) = 1/(n+1)

Das ist also kein Induktionsbeweis sondern nur eine
Umformung des binomischen Satzes .
Man kann natürlich versuchen,

S(n+1)

= Sn+1 i=0 (-1)i*binom(n+1,i)/(i+1)

mittels des Additionstheorems

binom(n+1,i)= binom(n,i) + binom(n,i-1)

auf S(n) zurückzuführen und dies zu einem Induktionsbeweis auszubauen. Das ist aber m.E. ein
Umweg, denn der Induktionsschluss steckt eigentlich
schon im binomischen Satz drin.

mfG Orion
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Jamil_x (Jamil_x)
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Benutzername: Jamil_x

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 21:28:   Beitrag drucken

bis freitag werde ich mir vornehmen den induktionsbeweis zu führen, denn dann muss ich die hausaufgaben abgeben. wenns ich bis dahin nicht gepackt habe, werde ich die umformung zur hand nehmen.

vielen dank orion für deine mühe
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Jamil_x (Jamil_x)
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Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 17:29:   Beitrag drucken

naja...unser seminarleiter gab zur kenntnis, dass es manchmal sinnvoller ist den induk. beweis nicht "über die stange zu brechen".

denn ich komme mit dem indukt. b. hier sowieso nicht weiter...

;)

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