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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3906
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 17:58: | 
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Hi allerseits
Es folgt Aufgabe LF 330 (F 14):
Es sind zwei Integrale Y1 und Y2 zu berechnen:
Integrand f1(x) von Y1: f1(x) = ln x / (x^2 – 1)
Integrand f2(x) von Y2: f2(x) = ln x / (1 – x^2)
Grenzen.
Y1; untere : 1, obere unendlich
Y2: untere: 0, obere: 1
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1298
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 00:35: |
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Hi megamath,
zu so später Stunde fällt mir nur was zu Y2 ein!
int[ln(x)/(1-x^2) dx] [0..1]
Partielle Integration liefert:
u = ln(x)
v'= 1/(1-x^2)
u*v = ln(x) * (1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]
u'*v = (1/2)*ln[(1+x)/(1-x)] / x
Wir erhalten:
int[ln(x)/(1-x^2) dx] = {ln(x) * (1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]} - int[(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)] / x dx]
Es müsste nach L'Hospital sein:
{ln(x) * (1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]} von 0 bis 1 ==> 0
Es bleibt:
int[ ln(x)/(1-x^2) dx] = -(1/2)*int[ ln{(1+x)/(1-x)}/x dx]
Das letztere Integral hat bekanntlich den Wert pi^2/4! Ergo:
Y2 = -pi^2/8
Mal sehen ob mir morgen noch was zu Y1 einfällt!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1299
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 01:08: |
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Hi megamath,
mir kam die rettende Idee zu Y1 grade noch im Bett!
int[ln(x)/(x^2-1) dx]
Setze:
x = 1/u ==> dx = -1/u^2
[1..inf] = [1..0]
int[ ln(1/u) / ((1/u^2) - 1) *-1/u^2 du] [1..0]
-int[ ln(1/u) / (1-u^2) du] [1..0]
int[ ln(u) / (1-u^2) du] [1..0]
-int[ ln(u) / (1-u^2) du] [0..1]
Das Integral ist also -Y2
==>
Y1 = pi^2 / 8
Ich hoffe das passt so zu später Stunde!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3909
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 08:02: |
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Hi Ferdi
Gewisse Dinge gelingen nur nächtens
zu ganz später Stunde.
Deine Resultate sind samt Herleitung richtig.
Besten Dank für Deine Mühen.
Etwas später zeige ich noch meinen eigenen
Lösungsweg.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3910
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 08:22: |
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Hi allerseits
Mein eigener Lösungsweg ist folgender:
Zuerst zeige ich mit der Substitution x = 1 / t,
dass Y1 und Y2 entgegengesetzt gleich sind.
Um Y1 zu berechnen,
verwende ich die Substitution
u = (x-1)/(x+1); also x = (1 + u)/(1 - u),
dx = 2 / (1- u)^2 * du
Es entsteht:
Y1 = int [ln {(1+u)/(1-u)} du/u]
Dies ist aber (inklusive der Grenzen),
abgesehen vom Faktor ½ , das Integral
aus der Aufgabe F13 (LF 329).
Somit: Y1 = ½ * Pi^2 / 4 = 1/8 Pi^2
Wir sind am Ziel!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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