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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3901
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 13:32: | 
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Hi allerseits
Es folgt Aufgabe LF 329 (F 13):
Man berechne das Integral
int [ln {(1+x) / (1-x)}dx/x] ,
untere Grenze 0, obere Grenze 1
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 834
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 14:54: |
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Megamath,
Für 0<t<1 berechnen wir
F(t) :=ò0 t ln[(1+x)/(1-x)] x-1 dx
durch Reihenentwicklung des Integranden und
erlaubte gliedweise Integration, mit dem Resultat
F(t) = 2 S¥ n=0 t2n+1/(2n+1)2.
Diese Reihe konvergiert auch noch für t=1. Daher
F(1) = 2 S¥ n=0 1/(2n+1)2
= 2*p2/8 = p2/4
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3902
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 15:08: |
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Hi Orion
Bravo; genau so habe ich mir
die Lösung überlegt!
Besten Dank
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1294
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 16:06: |
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Hi Leute,
vielleicht habt ihr eine Idee wie es bei meinem Versuch weiter geht:
Ich habe erstmal umgeformt:
int[ln(1+x)/x - ln(1-x)/x dx]
Das hintere Integral habe ich so gelöst:
int[ln(1-x)/x dx] [0..1]
int[ln(u)/(1-u)du] [0..1]
ln(u) = t ==> du = e^t dt
[0..1] ==> [-inf..0]
int[ t / (1-e^t) e^t dt] [-inf..0]
int[ t / (e^(-t)-1) dt] [-inf..0]
-t = s ==> dt = -ds
[-inf..0] ==> [inf..0]
int[ s / (e^s - 1) ds ] [inf..0]
-int[ s / (e^s - 1) ds] [0..inf]
Das Integral ist wohlbekannt! es hat den Wert pi^2/6!! Wir haben also:
int[ln(1+x)/x dx] + pi^2/6
Jetzt muss ich nur noch irgendwie beweisen, das int[ln(1+x)/x dx] [0..1] = pi^2/12!
Könnt ihr mir da helfen? Oder verläuft sich diese Methode im Sand?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3903
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 16:48: |
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Hi Ferdi
Du bist mir zuvorgekommen!
Diese Frage habe ich bereits
in die Aufgabe F 15 eingebaut!
Es kann aber nur nützlich und
erspriesslich sein,
wenn jemand jetzt schon das Rätsel löst.
Dank zum Voraus!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3904
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 21:13: |
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Hi Ferdi
Deine Methode ist sehr gut zu gebrauchen.
Ich skizziere eine mögliche Lösung zur Teilaufgabe,
nach der das Integral
T= int [ln(1+x)* dx/x]
in den angegebenen Grenzen zu berechnen ist.
Das Resultat ist tatsächlich Pi^2/12.
Vorausgesetzt werden Kenntnisse über Dirichlet-Reihen und
die Riemannsche Zeta-Funktion.
Wir benötigen davon „nur“ das Folgende:
Die Dirichlet-Reihe f(z) =sum [(-1)(k+1) / n ^ z], (k = 1 ad infinitum)
ist für alle z mit Realteil z > 0 konvergent.
Es gilt:
f(z) = [1 – 2 / (2^z)] * Zeta(z)
In unserem Fall ist z = 2 zu setzen und wir erhalten:
f(2) = ½ * Zeta(2) = Pi^2/12.
Um T zu berechnen entwickle den Integrand in eine unendliche Reihe
und integriere gliedweise in Analogie zur Lösung von Orion.
Die alternierenden Vorzeichen sollen Dich nicht irritieren,
im Gegenteil!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3905
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 21:23: |
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Hi Ferdi
Es muss natürlich heissen
f(z) =sum [(-1)HOCH(k+1) / n ^ z], (k = 1 ad infinitum)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1296
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 08:41: |
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Hi megamath,
Es geht dann wohl so:
int[ln(1+x)/x dx]
Da ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 ....
=> ln(1+x) = sum[ (-1)^(k+1) x^k / k]
=> ln(1+x)/x = sum [ (-1)^(k+1) x^(k-1) / k]
int[ sum [ (-1)^(k+1) x^(k-1) / k] dx] [0..1]
Vertauschen von Integral und Summe:
sum{int[ [ (-1)^(k+1) x^(k-1) / k] dx] [0..1]}
sum{ (-1)^(k+1) 1/k^2} von 1 bis unendlich
Und das ist gerade die Dirichlecht Reihe für z = 2!
Es folgt:
sum{ (-1)^(k+1) 1/k^2} = (1 - 2 / 2^2) Zeta(2)
Also endlich:
int[ ln(1+x)/x dx] [0..1] = pi^2 / 12
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3907
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 18:02: |
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Hi Ferdi
Das hat alles seine Richtigkeit!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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