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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3887
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 16:33: | 
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Hi allerseits
Es folgt eine weitere Aufgabe zum Thema
„Reihensumme gesucht“.
Die Aufgabe LF 325(R3) lautet:
Für die Reihe mit n Summanden
S = 3/(2*3*4*5) +5(3*4*5*6) +7/(4*5*6*7) + ……………..
bestimme man eine geschlossene Summenformel
Gesucht wird S als Funktion von n: S = S(n).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3888
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 16:36: |
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Hi allerseits
Es folgt eine weitere Aufgabe zum Thema
„Reihensumme gesucht“
mit Korrektur
Die Aufgabe LF 325(R3) lautet:
Für die Reihe mit n Summanden
S = 3/(2*3*4*5) +5/(3*4*5*6) +7/(4*5*6*7) + ……………..
bestimme man eine geschlossene Summenformel
Gesucht wird S als Funktion von n: S = S(n).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1286
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath,
das allgemeine Glied der Reihe müsste lauten:
a(k) = (2k+1)/[(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)]
Ich finde nun aber kein geeignetes b(k)! Der Nenner macht mir da am meisten Kopfzerbrechen!
Kannst du einen kleinen Hinweis geben? 
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 830
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:02: |
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Hallo Ferdi:
Als Hinweis hier nur 2 Stichworte :
1. Partialbruchzerlegung
2. Teleskopsummen.
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 831
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:27: |
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Zu 1.: Prüfe nach, dass
a(k) = (1/6)[1/(k+2)-1/(k+1)]
-(4/3)[1/(k+3)-1/(k+2)]
+(7/6)[1/(k+4)-1/(k+3)]
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1287
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 08:45: |
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Hi Orion,
daran hatte ich auch schon gedacht. Ich dachte nur diese Aufgabe könnte auch mit der Differenzenmethode gelöst werden.
Naja werde mich Gleich mal ransetzen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3890
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 09:09: |
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Hi Ferdi
Ich gebe sogar einen mittel großen Hinweis:
will man mit der Differenzenmethode arbeiten,
so setzt man die unbestimmten Koeffizienten
A und B so an, dass für
b(k) = (A k + B) / (k+1)(k+2)(k+3) die Differenz
b(k) – b(k+1) für jedes k mit a(k) übereinstimmt.
Das sollte funktionieren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3891
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 09:12: |
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Hi allerseits
Man kann die Aufgabe auch dadurch lösen, dass man
a(k) = (2k+1)/[(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)]
in Teilbrüche zerlegt.
Das geht so:
Wir schreiben
a(k) = [2(k+1) – 1] / [(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)]
= c(k) – d(k),wobei
c(k) = 2 / [(k+2)*(k+3)*(k+4)]
d(k) = 1 / [(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)]
Wir zerlegen weiter (divide et impera!):
c(k) = 1/{(k+2)*(k+3)} – 1/{(k+3)(k+4)}
d(k) = 1/3 * 1 /{(k+1)(k+2)k+3) – 1/{k+2)(k+3)(k+4)}
Wir bilden die Summen der c(k) und d(k)
und erhalten mit dem Differenzenverfahren im Kleinen sofort
der Reihe nach:
sum [c(k)] = 1/{3*4} – 1 /{(n+3)(n+4)}
sum [d(k)] = 1/3 *[ 1/{2*3*4} – 1 /{(n+2)(n+3)(n+4)}
Das gibt summa summarum:
sum [a(k)] =1/12 - 1/72 + 1/3*[(1-3n –6)/{(n+2)(n+3)(n+4)}]
vereinfacht:
sum [a(k)] =5/72 - 1/3*[(3n + 5)/{(n+2)(n+3)(n+4)}]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1288
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 11:37: |
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Hi megamath,
besten Dank für deinen Hinweis.
Ich erhalte:
A = 1 ; B = 2/3
summiert man dann von 1 bis n
b(1) - b(n+1) = S(n)
5/72 - (n + (5/3))/[(n+2)(n+3)(n+4)]
S(n) = 5/72 - (1/3)*{(3n + 5)/[(n+2)(n+3)(n+4)]}
Wie es sein muss!
mfg
(Beitrag nachträglich am 19., April. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3892
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 12:02: |
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Hi Ferdi
Der Hinweis hat geholfen und zum
richtigen Resultat geführt.
Besten Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath |
