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Reihensumme gesucht

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Reihensumme gesucht « Zurück Vor »

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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1611
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 21:50:   Beitrag drucken

Hallo liebe Community,

ich vermute, dass die Reihe

2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...

die Summe 2/3 hat. Kann das jemand begründen? Besten Dank im Voraus

Z.
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 825
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:22:   Beitrag drucken

Hallo Zaph,

Bis auf den Faktor 2 ist der n-te Summand

an = 4n*n!*(n+1)!/(2n+3)!

Maple bestätigt in der Tat, dass

S := S¥ n=1 an = 1/3

Ich nehme an, dass Du auch schon soweit bist.
Vielleicht fällt mir noch etwas Gescheites dazu ein.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3864
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:35:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Ohne Gewehr:

Probiere es mit der Darstellung:
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
=2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
Begründung mit vollständiger Induktion

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3865
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:46:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Ohne Gewehr:

Probiere es mit der Darstellung:
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
=2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
Begründung mit vollständiger Induktion

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 14:07:   Beitrag drucken

Ja, es trifft zu, dass

S(n) := Sn k=1 ak

= 1/3 - 22n+1[(n+1)!]2/(2n+3)!
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 21:59:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,

bin gerade nur auf der "Durchreise", freue mich aber für die (auf den ersten Blick sehr hilfreichen) Hinweise! Komme leider erst Anfang nächster Woche dazu, mir das näher anzusehen, melde mich dann aber wieder.

Vielen Dank schon mal
Zaph
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3889
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 20:18:   Beitrag drucken

Hi Zaph



Zunächst soll die endliche Summe
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
mit n Summanden als Funktion S = S(n) kompakter dargestellt
werden.
Zur Herleitung verwende ich das so genannte Differenzen-Verfahren,
das von mir bereits in der Serie „Reihensumme gesucht“ mehrfach
vorgeführt wurde.
Das allgemeine Glied der Reihe ist
a(k) = [2*4 ……..*(2k)] / [3*5*…………*(2k+1)*(2k+3)]
k = 1,2,3..…n.
Eingebung(hihi); wir kreieren
b(k) = [2*4 ……..*(2k)*(2k+2)] / [3*5*…………*(2k+1)*(2k+3)]
und finden nach kurzer Rechnung:
b(k-1) - b(k) = a(k)
Diese Relation wird summiert von k = 1 bis k = n.
Wir erhalten:
b(0) – b(n) = S(n),rechts steht die gesuchte Summe.
b(0) ist aber 2/3,
so dass - deus ex machina -
die Formel
S(n) =2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
entsteht, auf die ich schon früher hingewiesen habe,
und die Dir sicher gute Dienste leisten wird.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1614
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 22:17:   Beitrag drucken

Hallo Megamath und Orion!

Vielen Dank! Das hat mir geholfen! Und das Differenzenverfahren ist wirklich nett ... wenn man denn die Eingebung hat ;-)

Hieraus ergibt sich dann ja auch

Pk :=
1/(2k+1) + 2k/[(2k+1)*(2k+3)] + 2k*(2k+2)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)] + 2k*(2k+2)*(2k+4)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)*(2k+7)] + ...
= 1

für alle k. Denn P1 = 1/3 + 2/3 = 1 ... s.o.

Und mit Induktion:
Pk = 1/(2k+1) + 2k/(2k+1) * Pk+1
=>
Pk+1
= (2k+1)/(2k) * (Pk - 1/(2k+1))
= (2k+1)/(2k) * (1 - 1/(2k+1))
= 1

Viele Grüße
Zaph
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1616
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 22:34:   Beitrag drucken

Siehe auch hier.

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