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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3813
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. April, 2004 - 18:02: | 
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Hi allerseits
Vorbemerkung
Über die Osterferientage gibt es in der laufenden Folge
der LF-Aufgaben für die Daheimgebliebenen ein Nest
voller bunter Integralaufgaben!
Eine Beteiligung an den Lösungsversuchen ist
nach wie vor freiwillig.
Beginn mit Aufgabe O1: LF 303.
Mit f(x) = 6 e^x + 1/6 e^ (-x) als Integrand wird das
bestimmte Integral A = int [f(x) dx]
untere Grenze – 2 ln 6, obere Grenze 0, gebildet.
Mit h(x) = 2 cosh x als Integrand wird das
bestimmte Integral B = int [h(x) dx]
untere Grenze – ln 6, obere Grenze ln 6, gebildet.
Man weise nach, dass A = B gilt, ohne diese Werte
einzeln zu berechnen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1260
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. April, 2004 - 21:12: |
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Hi megamath,
A:
int[ 6*e^x + (1/6)*e^-x dx ]
int[ e^ln(6)*e^x + e^-ln(6)*e^-x dx ]
int[ e^(x + ln(6)) + e^-(ln(6) + x) dx]
Hier substituieren wir:
x + ln(6) = t ==> dx = dt
Grenzen:
x = 0 ==> t = ln(6)
x = -2*ln(6) ==> t = -ln(6)
Wir erhalten:
int[ e^t + e^-t dt] in den Grenzen [-ln(6)..ln(6)]
Schreiben wir nun noch:
e^t + e^-t ==> 2 * [(e^t + e^-t)/2]
da (e^t + e^-t) ==> cosh(t)
Folgt:
int[ 2*cosh(t) dt ] von -ln6 bis ln6!
Also A = B q.e.d.
Eine weitere Untersuchung zeigt, das beide Integrale den Wert 35/3 haben!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3814
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 10:49: |
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Hi Ferdi,
Deine Beweisführung ist iO. Danke!
Geometrische Deutung
Es handelt sich um einen Bogen PQ einer Kettenlinie,
der symmetrisch zur Parallelen zur y-Achse durch
den Scheitel S der Kettenlinie liegt.
Dieser Bogen wird parallel in Richtung der positiven x Achse
verschoben; der Betrag des Verschiebungsvektors v ist
abs v = ln 6.
Ausgangslage:
xP = -2 ln 6 , yP = 37/6; xS=- ln 6, yS=2; xQ = 0 , yQ = 37/6
Endlage (nach erfolgter Verschiebung):
xP*= - ln6, yP* = 37/6; xS*= 0, yS*=2; xQ* = ln 6 , yQ* = 37/6
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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