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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3792
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 09:06: | 
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Hi allerseits
Es folgt die Aufgabe LF 295.
Wiederum ist eine Rekursionsformel herzuleiten,
eine Formel zur Berechnung des (unbestimmten) Integrals
int [(tan x)^ n dx]
Viel Erfolg!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1246
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 22:21: |
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Hi megamath,
ein harter Brocken:
Ich habs so versucht:
sei tan(x) = u ==> dx = du/(1+u^2)
int[u^n/(1+u^2) du]
Schreibt man nun:
u^(n-2) * u^2/(1+u^2) du
mit u^(n-2) = r'
und u^2/(1+u^2) = s
dann:
r * s = 1/(n-1) u^(n-1) * (1 - 1/(u^2+1))
r * s' = 1/(n-1) u^(n-1) * ( 2u /(u^2+1)^2)
Darin dann
2u /(u^2+1)^2 = t'
1/(n-1) u^(n-1) = v
t * v = - 1/(n-1) u^(n-1)/(1+u^2)
t* v' = (n-1) u^(n-2)/(1+u^2)
Schreiben wir nun mal alles zusammen, so hebt sich vieles Weg, es bleibt:
int[..] = 1/(n-1) u^(n-1) - int[t*v'/(n-1)]
int[..] = 1/(n-1) u^(n-1) - int[ u^(n-2)/(1+u^2) du]
Jetzt setzen wir wieder u = tan(x) ==> du = (tan(x)^2 + 1) dx
int[tan(x)^n dx] = 1/(n-1) tan(x)^(n-1) - int[tan(x)^(n-2) dx]
T(n) = 1/(n-1) tan(x)^(n-1) - T(n-2)
mfg
Das war nur meine Idee, ist ziemlich umständlich, geht das auch ohne diese Substitution?? |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 23:00: |
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Doch, es geht auch so:
T(0)(x)=x+C
T(1)(x)=int (sinx/cosx) dx= - ln abs(cosx) + C
T(n)(x) = int (tanx^n dx)=
= int (tanx^(n-2)*(tanx^2 + 1 – 1) dx =
= int (tanx^(n-2)*(tanx^2 + 1) dx – int (tanx^(n-2) =
= int (tanx^(n-2)*dtanx – int (tanx^(n-2) =
= 1/(n-1)*tanx^(n+1) – T(n-2)(x) + C
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3795
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 09:07: |
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Hi allerseits
Es geht noch einfacher:
Wir substituieren im Integral
DNT= int [(tan x)^n + (tan x)^(n-2)] dx
tan x = u und bekommen, weil die Ableitung von tan x nach x
mit {1 + (tan x)^2} übereinstimmt, sofort:
DNT = int [u^(n-2)] du = 1/(n-1) u^(n-1) = 1/(n-1)*(tan x)^(n-1),
was unmittelbar auf die gesuchte Rekursionsformel führt.
HIHI:
In der Arbeit von e findet man bei der mit ***** unterstrichenen Formel
im Exponent einen TF; es sollte (n-1), nicht (n+1) heißen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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