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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3779
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 19:50: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 291 lautet.
Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von
f(x) = 1/ [x*sqrt(1+x^2)]
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1238
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 20:55: |
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Hi megamath,
ich weiß nicht ob man hier die Rekursionsformel für m = -1 benutzen kann, ich hab da keine Weg gesehn. Man kommt schliesslich zu K(-3)!
Ich habs so gemacht:
int[1/(x*sqrt(1+x^2)) dx]
1 + x^2 = u^2
x = sqrt(u^2 -1)
dx = u/sqrt(u^2 - 1) du
int[1/(u^2-1) du]
==> (1/2) * ln[(u - 1)/(u + 1)]
==> (1/2) * ln[(sqrt(x^2 + 1) - 1)/(sqrt(x^2+1) + 1)]
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3781
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 21:47: |
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Hi Ferdi
Ich habe folgendermassen substituiert:
1/x = u ...; das hilft schon!
Dabei bin ich auf eine bekannte Area-Funktion gestossen,hihi!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3782
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 09:18: |
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Hi allerseits
Wir wollen nicht zu weit suchen!
Es folgt eine Lösung des Integrals mittels der Substitution
1/x = u < - - > x = 1 / u
dx = - 1/u^2 du
Der neue Integrand lautet nun
g(u) = u * (-1/u^2) / sqrt(1+1/u^2) = - 1/sqrt(u^2+1)
Durch Integration kommt:
arsinh(u) + C = - arsinh(1/x) + C
Anmerkung
Bekanntlich gilt für die Areasinushyperbolicus-Funktion:
arsinh x = ln (x + sqrt (x^2+1)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 10:34: |
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Hallo megamath
Darf ich Dich bitten, die Beziehung
arsinh x = ln (x + sqrt (x^2+1)
herzuleiten.
Für mich gilt leider das "Bekanntlich" nicht!
Herzlichen Dank zum Voraus.
Miro |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3783
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 10:47: |
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Hi Miro
notum est illud (bekanntlich gilt):
sei x = sinh y
also x = ½ [e^y – e ^ (-y)] = ½ [ z - 1/z ] mit z = e ^ y
Dies ist gleichbedeutend mit
y = arsinh x
und
y = ln z
Auflösung der quadratischen Gleichung in z
2 x = z – 1 / z
z^2 – 2 x z - 1 = 0
nach z; taugliche Lösung
z = x + sqrt (x^2 +1)
also
y = ln z = ln [x + sqrt (x^2 +1)], q.e.d.
Zu Diensten
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 15:33: |
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Hallo megamath
Ich danke Dir für Deine
Ausführungen zur Areasinus-Funktion.
Das war eine gute Lektion für mich!
MfG
Miro 2004 |
