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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3779 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 19:50: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 291 lautet. Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von f(x) = 1/ [x*sqrt(1+x^2)] MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1238 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 20:55: |
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Hi megamath, ich weiß nicht ob man hier die Rekursionsformel für m = -1 benutzen kann, ich hab da keine Weg gesehn. Man kommt schliesslich zu K(-3)! Ich habs so gemacht: int[1/(x*sqrt(1+x^2)) dx] 1 + x^2 = u^2 x = sqrt(u^2 -1) dx = u/sqrt(u^2 - 1) du int[1/(u^2-1) du] ==> (1/2) * ln[(u - 1)/(u + 1)] ==> (1/2) * ln[(sqrt(x^2 + 1) - 1)/(sqrt(x^2+1) + 1)] mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3781 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 21:47: |
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Hi Ferdi Ich habe folgendermassen substituiert: 1/x = u ...; das hilft schon! Dabei bin ich auf eine bekannte Area-Funktion gestossen,hihi! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3782 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 09:18: |
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Hi allerseits Wir wollen nicht zu weit suchen! Es folgt eine Lösung des Integrals mittels der Substitution 1/x = u < - - > x = 1 / u dx = - 1/u^2 du Der neue Integrand lautet nun g(u) = u * (-1/u^2) / sqrt(1+1/u^2) = - 1/sqrt(u^2+1) Durch Integration kommt: arsinh(u) + C = - arsinh(1/x) + C Anmerkung Bekanntlich gilt für die Areasinushyperbolicus-Funktion: arsinh x = ln (x + sqrt (x^2+1) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 10:34: |
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Hallo megamath Darf ich Dich bitten, die Beziehung arsinh x = ln (x + sqrt (x^2+1) herzuleiten. Für mich gilt leider das "Bekanntlich" nicht! Herzlichen Dank zum Voraus. Miro |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3783 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 10:47: |
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Hi Miro notum est illud (bekanntlich gilt): sei x = sinh y also x = ½ [e^y – e ^ (-y)] = ½ [ z - 1/z ] mit z = e ^ y Dies ist gleichbedeutend mit y = arsinh x und y = ln z Auflösung der quadratischen Gleichung in z 2 x = z – 1 / z z^2 – 2 x z - 1 = 0 nach z; taugliche Lösung z = x + sqrt (x^2 +1) also y = ln z = ln [x + sqrt (x^2 +1)], q.e.d. Zu Diensten H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 15:33: |
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Hallo megamath Ich danke Dir für Deine Ausführungen zur Areasinus-Funktion. Das war eine gute Lektion für mich! MfG Miro 2004 |