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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3725
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. März, 2004 - 17:25: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 273 lautet:
Gegeben ist die Kurve k durch die
Polarkoordinatendarstellung:
r = a / [0.5 - cos(phi)]…………(a>0)
Gesucht werden die Asymptote as1 und as 2 der Kurve,
ihre Richtungswinkel phi* 1 und phi* 2 bezüglich der
Polarachse und ihre Abstände c1 und c2 vom Pol O
des Polarsystems.
Man überprüfe das Ergebnis mit einer ausführlichen
Berechnung in rechtwinkligem Koordinaten x, y für k.
Hinweise
Um Asymptoten Im Polarsystem zu ermitteln,
suche man zuerst diejenigen Werte von phi,
für welche r unendlich wird; sei phi* ein solcher Wert.
Den Abstand c der allfälligen Asymptote vom Pol O des
Systems ergibt sich als Grenzwert für phi strebt gegen
phi* des Ausdrucks M(phi) mit
M(phi) = r sin (phi* - phi)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1212
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 01:19: |
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Hi megamath,
wegen einer Umzugsfeier komme ich jetzt nicht mehr zu der Aufgabe, es scheint sich aber nach kurzer Ansischt um die Asymptoten einer Hyperbel zu handeln!
Ich bitte um ein wenig Aufschub, bis wir alle wieder fit sind !
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3727
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 07:06: |
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Hi Ferdi
Deine Sicht der Dinge scheint ungetrübt zu sein!
Es handelt sich in der Tat um eine Hyperbel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1213
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 13:39: |
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Hi,
jetzt gehts los!!
Der Term für r läuft gegen unendlich für:
phi = +- pi/3
Die Steigung der Asymptoten sind somit:
tan(phi*) = +-sqrt(3)
Der Abstand der Asymptoten ergibt sich in diesem Term:
M(phi) = r sin(phi* - phi)
M = [a * sin(pi/3 - phi)] / (0,5 - cos(phi))
Für Sinus das Additionstheorem anwenden:
M = a * [sqrt(3)*cos(phi) - sin(phi)]/[1 - 2cos(phi)]
Hier wenden wir l'Hospital an, da hier für phi -> pi/3 ein Term der Form 0/0 entsteht!
M = a * [-(3/2)sin(phi) - cos(phi)]/2sin(phi)
M(pi/3) = 2 a / sqrt(3)
Nun können wir auch die Asymptoten bestimmen:
y = m x + b
mit m = sqrt(3) in die Hesse'sche Normalenform bringen! Wir müssen noch b bestimmen:
[sqrt(3)x - y + b]/2 = 0
Die Gerade muss ja exakt 2a/sqrt(3) von O entfernt sein! Wir erhalten schliesslich:
as1 : y = sqrt(3) x + 4a/sqrt(3)
as2 : y = -sqrt(3)x - 4a/sqrt(3)
Diesselben Resultate erhält man, wenn man die Hyperbel in x,y betrachtet:
3x^2 + 8ax - y^2 + 4a^2 = 0
(x+(4/3)a)²/(4/9*a²) - y²/(4/3*a²)=1
Mittelpunkt ( -4/3 | 0 )
Halbachsen: A = 2/3 a ; B = 2/sqrt(3) a
Einiges Ergebnisse kommen bekannt vor vorallem die Halbachse B!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3729
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:23: |
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Hi Ferdi
Das hast Du bravourös gemacht!
Besten Dank.
Ich zeige meine Herleitung später.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3732
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 17:10: |
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Hi allerseits
Wenn man genau hinsieht, erkennt man in der gegebenen Gleichung
r = k / [0.5 - cos(phi)]…………(es steht k für a)
die Polarkoordinatendarstellung einer Hyperbel mit dem
einen Brennpunkt der Hyperbel als Pol und der Fokalachse als Polarachse.
Diese allgemeine Gleichung lautet bekanntlich so:
r = p / [1 – eps cos(phi) ]
p ist der Parameter der Hyperbel, eps ihre numerische Exzentrizität.
Bei einem Vergleich der Formeln finden wir sofort:
eps = 2
p = 2 k
Andrerseits gilt für die Halbachsen a, b der Hyperbel:
p = b^2 / a
eps = sqrt (a^2+b^2) / a
Wir berechnen:
a = 2/3 k
a = 2 k / 3 ; b = a sqrt (3)
Daraus entspringt für die gesuchte Steigung der Asymptoten
m = tan (phi) = b / a = sqrt (3);
die Steigung der zweiten Asymptote ist dazu entgegengesetzt gleich.
Sei L der Abstand eines Brennpunkts von einer Asymptote;
es gilt dann mit e (lineare Exzentrizität) = 4/3 k :
L = e sin(phi) = 2/3 sqrt(3) * k
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quod erat demonstrandum !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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