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Lockere Folge 260 : Ortskurve des Pun...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3679
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 18:02:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Aufgabe LF 260 erscheint die Schlussaufgabe zum Lituus;
Gleichung in Polarkoordinaten:
r = a sqrt(2) / sqrt (phi)
P sei der laufende Punkt dieser Kurve.
Welcher Kurventyp (Name?) durchläuft dabei
der in der Aufgabe LF 256 eingeführte Punkt T ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1187
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 21:03:   Beitrag drucken

Hi,

also ich weiß nicht, aber nach meinen Berechnungen müsste dies ein Kreis sein!

Wir hatten:

x' = 4a^2 sin(p) / r
y' = -4a^2 cos(p) / r

x'^2 + y'^2 = 16 a^4 / r^2

Nun gilt ja r^2 = x'^2 + y'^2

(x'^2 + y'^2)^2 = 16a^4
x'^2 + y'^2 = 4a^2

Dies wäre aber der Inversionskreis! Hinzu käme noch der imaginäre Kreis:

x'^2 + y'^2 = -4a^2

Kann das stimmen, wenn nicht müssten wir schauen, wo der Hund begraben liegt...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3681
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 07:32:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Als Lösung erscheint die Fermatsche Spirale,
deren Polarkoordinatendarstellung, wie früher mitgeteilt,
so lautet: r^2 = a^2* phi.
Wir ermitteln zuerst die Ortskurve des Punktes Q
(siehe die Aufgabe LF 256):

Da Q aus P(r) durch Inversion am Kreis x^2 + y^2 = 4 a ^2
entsteht, gilt für den Fahrstrahl R von Q:
R * r = 4 a^2 , somit
R = 4 a^2 / r;
R^2 = 16 a^4 / r^2 ;
r ^ 2 entnehmen wir der Gleichung des Lituus:
r^2 = 2 a^2 / phi, somit
R^2 = 8 a^2 * phi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist, wie angekündigt, eine Fermatsche Spirale!
T entsteht aus Q durch eine Drehung um O, Drehwinkel 90°.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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