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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3634
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 16:47: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 243
Man berechne für die Kardioide
r = 1 + cos (phi)
die Krümmung kappa in einem allgemeinen Punkt
P(r,phi) der Kurve.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 558
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 18:08: |
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Hi,
kappa = ...
... = [3(cosz + 1)] / [2(cosz +1)]^(3/2)
= 3/sqrt(8) * 1 / sqrt(cosz + 1)
oder vielleicht noch deutlicher:
kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt(r)
Stimmt das?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3638
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. März, 2004 - 06:54: |
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Hi Klaus
Dein Resultat ist richtig!
Besten Dank
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3647
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 08:04: |
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Hi allerseits
Ausführliche Lösung der Aufgabe LF 243
Krümmung kappa im allgemeinen Punkt der Kardioide
r = 1 + cos(phi).
unter Verwendung der Formel
kappa = [2(r´)^2 – r r ´´ + r^2] / [(r´)^2 + r^2]^(3/2)
Es ist:
r´= - sin(phi)
r´´= - cos phi
der Zähler Z von kappa: Z = 3(1+ cos(phi))
der Nenner N von kappa: N =2^(3/2)* (1+cos(phi))^(3/2)
somit:
kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt (1+cos(phi))
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MfG
H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3648
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 09:26: |
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Hi allerseits
Es folgt nochmals eine ausführliche Lösung der Aufgabe LF 243
Krümmung kappa im allgemeinen Punkt der Kardioide c
r = 1 + cos(phi), diesmal mittels Vektorrechnung.
Sei p der Fahrstrahl OP des laufenden Punktes P auf der Kurve c.
Der Vektor p hat folgende Koordinaten (Komponenten):
x-Koordinate
px = (1+cos(phi)) * cos(phi)
y-Koordinate
py = (1+cos(phi)) * sin(phi)
z-Koordinate
pz = 0, hihi !
p´ ist die erste Ableitung des Vektors p nach phi,
die Koordinaten sind:
x-Koordinate
p´x = - sin(phi) - sin(2 phi)
y-Koordinate
p´y = cos(phi) + cos(2 phi)
z-Koordinate
p´z = 0
p´´ ist die zweite Ableitung des Vektors p nach phi,
die Koordinaten sind:
x-Koordinate
p´´x = - cos(phi) – 2 cos(2 phi)
y-Koordinate
p´´y = - sin(phi) – 2 sin(2 phi)
z-Koordinate
p´´z = 0
Wir arbeiten mit der bekannten (?) Formel
kappa = Z / N
der Zähler Z von kappa stimmt mit dem Betrag des Vektorprodukts
p´ kreuz p´´ überein: Z = abs ( p´x p´)
der Nenner N von kappa ist die dritte Potenz des Betrags von p´.
N = abs [(p´)]^3
Bei der Berechnung von Z und N benütze man die
goniometrische Formel (t steht für phi):
cos(2t – t) = cos (2t) cos (t) + sin (2t) sin(t) = cos(t) !
Nach kurzer Rechnung kommt:
Z = 3 + 3 cos(phi)
N = 2^(3/2) [1+cos(phi)]^(3/2)
somit wiederum
kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt (1+cos(phi))
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Bravo!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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