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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3634 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 16:47: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 243 Man berechne für die Kardioide r = 1 + cos (phi) die Krümmung kappa in einem allgemeinen Punkt P(r,phi) der Kurve. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 558 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 18:08: |
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Hi, kappa = ... ... = [3(cosz + 1)] / [2(cosz +1)]^(3/2) = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt(cosz + 1) oder vielleicht noch deutlicher: kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt(r) Stimmt das? MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3638 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. März, 2004 - 06:54: |
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Hi Klaus Dein Resultat ist richtig! Besten Dank MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3647 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 08:04: |
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Hi allerseits Ausführliche Lösung der Aufgabe LF 243 Krümmung kappa im allgemeinen Punkt der Kardioide r = 1 + cos(phi). unter Verwendung der Formel kappa = [2(r´)^2 – r r ´´ + r^2] / [(r´)^2 + r^2]^(3/2) Es ist: r´= - sin(phi) r´´= - cos phi der Zähler Z von kappa: Z = 3(1+ cos(phi)) der Nenner N von kappa: N =2^(3/2)* (1+cos(phi))^(3/2) somit: kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt (1+cos(phi)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3648 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 09:26: |
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Hi allerseits Es folgt nochmals eine ausführliche Lösung der Aufgabe LF 243 Krümmung kappa im allgemeinen Punkt der Kardioide c r = 1 + cos(phi), diesmal mittels Vektorrechnung. Sei p der Fahrstrahl OP des laufenden Punktes P auf der Kurve c. Der Vektor p hat folgende Koordinaten (Komponenten): x-Koordinate px = (1+cos(phi)) * cos(phi) y-Koordinate py = (1+cos(phi)) * sin(phi) z-Koordinate pz = 0, hihi ! p´ ist die erste Ableitung des Vektors p nach phi, die Koordinaten sind: x-Koordinate p´x = - sin(phi) - sin(2 phi) y-Koordinate p´y = cos(phi) + cos(2 phi) z-Koordinate p´z = 0 p´´ ist die zweite Ableitung des Vektors p nach phi, die Koordinaten sind: x-Koordinate p´´x = - cos(phi) – 2 cos(2 phi) y-Koordinate p´´y = - sin(phi) – 2 sin(2 phi) z-Koordinate p´´z = 0 Wir arbeiten mit der bekannten (?) Formel kappa = Z / N der Zähler Z von kappa stimmt mit dem Betrag des Vektorprodukts p´ kreuz p´´ überein: Z = abs ( p´x p´) der Nenner N von kappa ist die dritte Potenz des Betrags von p´. N = abs [(p´)]^3 Bei der Berechnung von Z und N benütze man die goniometrische Formel (t steht für phi): cos(2t – t) = cos (2t) cos (t) + sin (2t) sin(t) = cos(t) ! Nach kurzer Rechnung kommt: Z = 3 + 3 cos(phi) N = 2^(3/2) [1+cos(phi)]^(3/2) somit wiederum kappa = 3/sqrt(8) * 1 / sqrt (1+cos(phi)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Bravo! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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