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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3603 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 18:51: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 235 ist der Scheitelkrümmungskreis einer Hyperbel zu bestimmen. Gegeben ist die Hyperbel x y = a^2. In der Gleichung des Kreises k mit der Gleichung (x - m)^2 + (y - m)^2 = r^2 sind m und r so zu bestimmen, dass k die Hyperbel im Punkt (a/a) vierfach berührt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 696 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 19:57: |
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Hallo Megamath, was versteht man unter einer vierfachen Berührung? aber ich denke mal daß folgendes gilt: r = (m-a)*sqrt(2) was hier automatisch gilt, die Tangente des Kreises am Punkt (a|a) hat die Steigung -1; Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3604 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 20:11: |
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Hi Walter Die Gleichung zur Ermittlung der Abszisse x des Berührungspunktes hat eine vierfache Lösung. x = a Die Relation für r ist richtig! MfG H.R.Moser,megamath . |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1156 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 10:36: |
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Hi megamath, mir schwebt da noch sowas im Hinterkopf nur als Gedanke: Handelt es sich hierbei um den Kreis im Scheitelpunkt der Hyperbel, in dem alle 4 Schnittpunkte zusammenfallen? Dieser Scheitelkrümmungskreis hat doch dann als Radius den Parameter des Kegelschnitts? Oder hab ich das falsch in Erinnerung? Weißt du worauf ich hinuas will? mfg |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 54 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 11:26: |
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Bei einer Hyperbel erhält man den Mittelpunkt M des Scheitelkrümmungskreises, indem man im Schnittpunkt des Achsenrechtecks die Normale auf die Asymptote fällt und mit der 1. Hauptachse schneidet! Der Kreis hat mit der Hyperbel in dessen Scheitel eine vierpunktige Berühung!
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3605 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 13:30: |
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Hi Ferdi Danke; ich weiß sehr wohl, worauf Du hinaus willst. Die Bemerkung bezüglich des Parameters ist richtig. Sie kann weiterverfolgt werden und führt Dich zu den gesuchte Daten. Als Abwechslung werde ich bald eine ganz andere Lösung vorführen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3606 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 13:33: |
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Hi elsa Besten Dank für Deinen Beitrag. Die von Dir erwähnte Eigenschaft des Mittelpunktes M des Scheitelkrümmungskreises einer Hyperbel führt konstruktiv und rechnerisch sehr schnell zum gewünschten Resultat. Als Abwechslung und zum Plausch werde ich bald eine ganz andere Lösung vorführen Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3607 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:05: |
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Hi allerseits Meine angekündigte Lösung sieht so aus: Der Kreis geht durch A(a/a), somit (x-m)^2 + (y-m)^2 = (a-m)^2 + (a-m)^2 oder x^2 + y^2 – 2 m x – 2 m y = 2a^2 – 4 am Nun setzen wir y = a^2 / x aus der Hyperbelgleichung ein, schaffen die Brüche weg und ordnen nach Potenzen von x, das sieht schöner aus: x^4 -2 m x^3 +2a (2m-a) x^2- 2 m a^2 x + a^4 = 0 Die linke Seite dieser Gleichung bezeichnen wir mit f(x). Wegen der verlangten Vierfachberührung für x = a sind alle sukzessiven Ableitungen bis und mit der dritten an der Stelle x = 2 null. Es ist f´ = 4x^3 – 6mx^2 + 4a(2m – a) – 2ma^2 f´´ = 12 x^2 – 12 mx + 4a(2m – a) f´´´= 24x – 12m Setzen wir die dritte Ableitung mit x = a null, so kommt sofort die Lösung m = 2a; wir sind am Ziel! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3608 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:27: |
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Hi allerseits Die in meinem letzten Beitrag absolvierte Berechnung mit dem Zwischenergebnis x^4 -2 m x^3 +2a (2m-a) x^2- 2 m a^2 x + a^4 = 0 zeigt wunderschön die Superoskulation der beiden Kurven im Punkt S(a/a). Setzt man für m = 2a ein, so entsteht: x^4 – 4 a x^3 + 6 a^2 x^2 - 4 a^3 x + a^4 = 0 Links steht die binomische Entwicklung von (x – a) ^ 4. (x – a) ^ 4 = 0 besagt: x = a ist eine vierfache Wurzel der Gleichung. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 55 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:33: |
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megamath, weiter oben meintest Du wohl die Stelle x=a und nicht: x=2 ? |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 56 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:39: |
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...und die 2. Ableitung an der Stelle a ist bei mir nicht Null - oder sehe ich da etwas nicht richtig? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3609 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:51: |
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Hi elsa Motto: noli turbare circulos meos (zerstöre meine Kreise nicht)! TF: es muss tatsächlichlich an besagter Stelle x = a heißen, nicht x = 2. Hingegen gibt die zweite Ableitung null, wenn x = a und m = 2a gesetzt werden Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 57 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:55: |
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Sorry - ich wollte nichts zerstören, nur verstehen! Gruß von elsa |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1157 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 15:13: |
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Hi megamath & elsa, Ich wusste da war doch was mit dem Parameter von Kegelschnitten! Ich komme auf das selbe Ergebniss! Auch elsas Tipp führt mich zum Ziel! PS: "Superoskulation" das gefällt mir und ist wohl nirgends passender als hier... mfg |