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Lockere Folge 235 : Scheitelkrümmungs...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 235 : Scheitelkrümmungskreis der Hyperbel « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3603
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 18:51:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 235 ist der Scheitelkrümmungskreis einer
Hyperbel zu bestimmen.
Gegeben ist die Hyperbel x y = a^2.
In der Gleichung des Kreises k mit der Gleichung
(x - m)^2 + (y - m)^2 = r^2 sind m und r so zu bestimmen,
dass k die Hyperbel im Punkt (a/a) vierfach berührt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 696
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 19:57:   Beitrag drucken

Hallo Megamath,

was versteht man unter einer vierfachen Berührung?

aber ich denke mal daß folgendes gilt:

r = (m-a)*sqrt(2)

was hier automatisch gilt, die Tangente des Kreises am Punkt (a|a) hat die Steigung -1;

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3604
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 20:11:   Beitrag drucken

Hi Walter



Die Gleichung zur Ermittlung der Abszisse x des Berührungspunktes hat eine vierfache Lösung.
x = a
Die Relation für r ist richtig!

MfG
H.R.Moser,megamath
.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1156
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 10:36:   Beitrag drucken

Hi megamath,

mir schwebt da noch sowas im Hinterkopf nur als Gedanke:

Handelt es sich hierbei um den Kreis im Scheitelpunkt der Hyperbel, in dem alle 4 Schnittpunkte zusammenfallen?
Dieser Scheitelkrümmungskreis hat doch dann als Radius den Parameter des Kegelschnitts?

Oder hab ich das falsch in Erinnerung? Weißt du worauf ich hinuas will?

mfg
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 11:26:   Beitrag drucken



Bei einer Hyperbel erhält man den Mittelpunkt M des Scheitelkrümmungskreises,
indem man im Schnittpunkt des Achsenrechtecks die Normale auf die Asymptote fällt und mit der 1. Hauptachse schneidet!
Der Kreis hat mit der Hyperbel in dessen Scheitel eine vierpunktige Berühung!

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3605
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 13:30:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Danke; ich weiß sehr wohl, worauf Du hinaus willst.
Die Bemerkung bezüglich des Parameters ist richtig.
Sie kann weiterverfolgt werden und führt Dich
zu den gesuchte Daten.
Als Abwechslung werde ich bald eine ganz andere
Lösung vorführen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3606
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 13:33:   Beitrag drucken

Hi elsa

Besten Dank für Deinen Beitrag.
Die von Dir erwähnte Eigenschaft des Mittelpunktes M
des Scheitelkrümmungskreises einer Hyperbel führt
konstruktiv und rechnerisch sehr schnell zum gewünschten
Resultat.
Als Abwechslung und zum Plausch werde ich bald eine
ganz andere Lösung vorführen

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3607
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:05:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Meine angekündigte Lösung sieht so aus:
Der Kreis geht durch A(a/a), somit
(x-m)^2 + (y-m)^2 = (a-m)^2 + (a-m)^2
oder
x^2 + y^2 – 2 m x – 2 m y = 2a^2 – 4 am
Nun setzen wir y = a^2 / x aus der
Hyperbelgleichung ein, schaffen die Brüche weg
und ordnen nach Potenzen von x,
das sieht schöner aus:

x^4 -2 m x^3 +2a (2m-a) x^2- 2 m a^2 x + a^4 = 0

Die linke Seite dieser Gleichung bezeichnen wir mit f(x).
Wegen der verlangten Vierfachberührung für x = a
sind alle sukzessiven Ableitungen bis und mit der dritten
an der Stelle x = 2 null.
Es ist
f´ = 4x^3 – 6mx^2 + 4a(2m – a) – 2ma^2
f´´ = 12 x^2 – 12 mx + 4a(2m – a)
f´´´= 24x – 12m
Setzen wir die dritte Ableitung mit x = a null,
so kommt sofort die Lösung m = 2a; wir sind am Ziel!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3608
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die in meinem letzten Beitrag absolvierte Berechnung
mit dem Zwischenergebnis

x^4 -2 m x^3 +2a (2m-a) x^2- 2 m a^2 x + a^4 = 0

zeigt wunderschön die Superoskulation der beiden
Kurven im Punkt S(a/a).
Setzt man für m = 2a ein, so entsteht:
x^4 – 4 a x^3 + 6 a^2 x^2 - 4 a^3 x + a^4 = 0
Links steht die binomische Entwicklung von
(x – a) ^ 4.
(x – a) ^ 4 = 0 besagt: x = a ist eine vierfache Wurzel
der Gleichung.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:33:   Beitrag drucken

megamath,
weiter oben meintest Du wohl die Stelle
x=a und nicht: x=2 ?
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:39:   Beitrag drucken

...und die 2. Ableitung an der Stelle a ist bei mir nicht Null - oder sehe ich da etwas nicht richtig?
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3609
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:51:   Beitrag drucken

Hi elsa

Motto: noli turbare circulos meos
(zerstöre meine Kreise nicht)!
TF: es muss tatsächlichlich an besagter Stelle
x = a heißen, nicht x = 2.

Hingegen gibt die zweite Ableitung null, wenn x = a
und m = 2a gesetzt werden

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 14:55:   Beitrag drucken

Sorry - ich wollte nichts zerstören, nur verstehen!

Gruß von
elsa
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1157
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 15:13:   Beitrag drucken

Hi megamath & elsa,

Ich wusste da war doch was mit dem Parameter von Kegelschnitten! Ich komme auf das selbe Ergebniss! Auch elsas Tipp führt mich zum Ziel!

PS: "Superoskulation" das gefällt mir und ist wohl nirgends passender als hier...

mfg

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