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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3587
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 20:20: | 
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Hi allerseits,
In der Aufgabe LF 233 ist nochmals eine Rotationsfläche
zu berechnen.
Gegeben ist die Kardioide
x = a [2 cos (t) – cos (2t)], y = a [2 sin(t) – sin(2t)]
(t = 0 bis Pi)
Diese Kurve rotiert um die x-Achse.
Man berechne die Oberfläche des Rotationskörpers.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 533
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 21:42: |
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Hi
Ich werde wohl anderen den Vortritt überlassen.
Bei mir steht vor der Integration folgendes (ist aber bestimmt falsch):
A = 4sqrt(8)*pi*a^2 * Integral[ (1-cost)^3/2 dt]
Wie aber integriere ich das ??
MfG Klaus
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 692
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 21:50: |
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INT (1-cos(t))^(3/2) dt ist elementar gar nicht integrierbar 
Gruß,
Walter
(Beitrag nachträglich am 26., Februar. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3594
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 22:06: |
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Hi Klaus, Hi Walter
Entgegeb der Meinung von Walter ist das Integral nach meiner Meinung doch berechenbar.
Dss bestimmte Integral 0 bis Pi liefert den Wert
8/3 * wurzel(2),sodass das Resultat von Klaus
lauten würde:
A = 128 Pi a^2/3
Mein Resultat (ohne Gewehr):
A = 128 Pi a^2 / 5 !
Morgen mehr davon
MfG
H.R.Moser,megamath
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Emperor2002 (Emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Emperor2002
Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 22:13: |
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Int (1 - cos(x))^(3/2) dx = -2/3 * Sqrt(1 - cos(x)) * (4/tan(x/2) + sin(x))
spuckt Mathematica aus |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 693
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 22:34: |
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tja, www.mathdraw.de scheint es dann nicht zu können ;-)
der zeigt nämlich auch den Weg in einzelnen Schritten an ;-)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3595
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 07:32: |
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Hi allerseits
Wir wollen vom Integral
Int (1 - cos(x))^(3/2) dx sprechen, zuerst vom unbestimmten Integral,
anschließend berechnen wir das bestimmte Integral J mit demselben
Integranden in den Grenzen 0 bis Pi, und dies soll alles von Hand
gemacht werden! Handwerk hat immer noch einen goldenen Boden.
Wir sollten uns von der Unsitte befreien, sofort zu den CA-Systemen
zu greifen, insbesondere zu solchen, die dem Problem nicht gewachsen
sind; ich nenne keine Namen.
Viel gescheiter wäre es, sich einschlägige Formeln, etwa aus dem Gebiet
der Goniometrie, zu merken und diese adäquat einzusetzen.
Wir haben im vorliegenden Beispiel einen Musterfall für das Gesagte.
Sorgen wir dafür, dass uns die eigene Phantasie nicht abhanden kommt!
Wir verwenden die bekannte Halbwinkelformel des Sinus:
sin(t/2)= sqrt[½(1 - cos(t)], daraus
(1 - cos t) = 2 {sin(t/2)}^2 ; substituieren wir noch t = 2u, dt =2du,
so kommt für das unbestimmte Integral
2^(5/2) Int [sin^3(u) du]: das Integral der dritten Potenz von u rechnet
man leicht in einer Zwischenrechnung,wenn es nicht präsent sein sollte.
Schließlich kommt die Stammfunktion in u:
F(u) = 2^(5/2) * [-1/3 cos u ( (sin u)^2 + 2)]
Grenzen für u: unten 0, oben ½ Pi.
Daraus entspringt das schon gestern erwähnte Resultat:
J = 8/3*sqrt(2)
°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1154
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 07:48: |
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Hi megamath,
ich finde du hast recht! Deswegen habe ich auch gar kein Matheprogramm auf meinem Computer installiert, die machen so oft Fehler [ der Mensch zwar auch, aber diese Fehler kann man leichter finden]...
Aber um das Integral so lösen zu können, braucht man aber ziemlich viel "Insiderwissen", ich weiß nicht ob ich es geschafft hätte...
mfg |
Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 534
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 07:58: |
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Hi
ich habe das Programm auch mal in ein CA - Programm eingegeben. Kam aber nix Gescheites raus - besser gesagt gar nichts.
Daher hilft wie so oft nur das "Selber-Rechnen". Aber ich hätte das Integral wohl nicht lösen können. Vielleicht doch. Aber so genau kenne ich mich in der Goniometrie nicht aus. In der Schule z.B. haben wir das gar nix gemacht.
Ist der Flächeninhalt der Mantelfläche nun A = 128 Pi a^2 / 5 ?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3596
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 08:26: |
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Hi Frdi
Besten Dank für Deine Mitteilung!
Ich selber habe Miss Marple V und 7 installiert
und verwende diese Programme zur Kontrolle
meiner Handrechnungen, auch bei Eigenwertrechnungen z.B.
Das vorliegende Integral rechnet Miss Marple problemlos,
das Resultat des unbestimmten Integrals ist aufreizend
kompliziert (wie bei Mathematica auch), das Resultat des bestimmten
kurz und bündig und sogar richtig.
Die Systeme haben die goniometrischen Umformungen nicht
gut genug gelernt, sie haben offenbar den Unterricht geschwänzt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3597
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 08:27: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine Mitteilung!
Ich selber habe Miss Marple V und 7 installiert
und verwende diese Programme zur Kontrolle
meiner Handrechnungen, auch bei Eigenwertrechnungen z.B.
Das vorliegende Integral rechnet Miss Marple problemlos,
das Resultat des unbestimmten Integrals ist aufreizend
kompliziert (wie bei Mathematica auch), das Resultat des bestimmten
kurz und bündig und sogar richtig.
Die Systeme haben die goniometrischen Umformungen nicht
gut genug gelernt, sie haben offenbar den Unterricht geschwänzt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3598
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 08:36: |
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Hi Klaus
Nach meiner Rechnung lautet das Resultat
A = 128 Pi a^2 / 5 mit einer 5 im Nenner.
Wo steckt der Fehler ?
Könntest Du den Beginn Deiner Rechnung vorführen?
Später zeige ich meine Version.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 535
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 08:43: |
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Hi Megamath,
ich werde meine Rechnung gleich liefern. Dauert allerdings ungefähr 1 Stunde.
MfG Klaus
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 09:22: |
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Hi Megamath,
hier meine Rechnung.
Ich hoffe, das ist einigermaßen übersichtlich.
Wo liegt mein Fehler?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3599
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 12:32: |
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Hi Klaus
Ich führe Dir nun meinen Lösungsweg vor
Wir sind gespannt, woher die 5 im Nenner kommt.
Es zeigt sich übrigens erneut und mit allem Nachdruck,
wie nützlich es sein kann, einige Formeln der Goniometrie
im Repertorium zu haben.
Im Laufe der Rechnung brauche ich die Beziehungen
sin t = 2 sin ½ t * cos ½ t
1 – cos t = 2 (sin ½ t)^2
sin u – sin v = 2 cos [½ (u+v)] sin [½ (u-v)]
cos u – cos v = -2 sin [½ (u+v)] sin [½ (u-v)]
Wir berechnen nun das Bogenelement ds aus
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2
Zur Berechnung von dx und dy verwenden wir die beiden
zuletzt angegebenen Formeln; es kommt:
dx = 2 a [- sin t + sin 2t] dt = 4a cos (3t/2) sin(t/2) dt
dy = 2 a [ cos t - cos 2t] dt = 4a sin (3t/2) sin(t/2) dt
damit:
(ds)^2 = 16 a ^2 [sin(t/2)]^2 *(dt)^2, Bravo; dies führt auf
ds = 4a sin t/2*dt
Nun berechnen wir y* ds
y ds = 4a^2 [2 sin t – sin 2 t ] sin t/2 dt=
8 a^2 sin t [1 – cos t ] sin t/2 dt
Mit goniometrischen Formeln entsteht:
y ds = 32 a^2 [sin(t/2)]^4 * cos(t/2) dt
Jetzt wollen wir integrieren, indem wir noch
t = 2 u , dt = 2 du substituieren.
Die Integration liefert als Stammfunktion in u:
64 a^2 [(sin u)^5] / 5.
Grenzen für das bestimmte Integral: u = 0 unten,
u = ½ Pi oben
ergibt den Wert 64 a^2 /5 .
Dies ist noch mit dem Faktor 2 Pi zu multiplizieren.
sodass das angekündigte Resultat erscheint.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 537
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 13:10: |
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Hi Megamath,
OK. Du hast eine völlig andere Herleitung deínes Ergebnisses. Hab sie auch nachvollziehen können.
Damit ist das denke ich geklärt.
Vielen Dank für die Herleitung!
Wie du schon sagtest: Einige Formeln der Goniometrie sind ganz nützlich. Aber genau daran scheitert es bei mir (noch). Die Übung macht's...
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3600
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Februar, 2004 - 14:14: |
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Hi Klaus
Besten Dank für die Mitteilung!
MfG
H.R.Moser,megamath |
