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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3522
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 16:43: | 
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Hi allerseits
In der folgenden Serie der LF-Aufgaben geht es
um Torus- oder Ringflächen.
Aufgabe LF 220.
Eine Torusfläche ist durch die folgende Parameterdarstellung
gegeben:
x = (a + r cos u ) cos v
y = (a + r cos u ) sin v
z = r sin u
Parameterintervalle: 0 < = u < 2Pi ; 0 < = v < 2Pi
a und r const., a > = r ; a > r : ring torus, a = r : horn torus !
a)
Welches ist die Rotationsachse und welches sind die
geometrischen Daten des Torus?
b)
Man leite eine Koordinatengleichung der Fläche her,
in welcher keine Wurzelterme vorkommen.
c)
Die (x,y)-Ebene schneidet den Torus in einem kleinen Kreis,
dem Kehlkreis, und einem großen Kreis, dem Äquatorkreis.
Man ermittle die Gleichungen dieser Kreise algebraisch aus
der Koordinatengleichung (Teilaufgabe b)) durch eine
Faktorzerlegung.
d)
Welche Bedingung müssen die Koordinaten eine Punktes B
der Fläche erfüllen, falls die Tangentialebene in B
die Fläche schneidet?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1129
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 20:05: |
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Hi,
ich versuch mich mal an dem was ich kann b):
I) und II) werde quadriert und dann addiert:
x^2 + y^2 = (a+rcos(u))^2 cos(v)^2 + (a+rcos(u))^2 sin(v)^2
x^2 + y^2 = (a + r cos(u))^2 (A)
Quadriere ich III) und löse nach sin^2(u) auf:
z^2 / r^2 = sin^2(u) (B)
Setze ich nun in A cos(u) = sqrt(1 - sin^2(u))
x^2 + y^2 = (a + r sqrt(1-sin^2(u)))^2
das mit B:
x^2 + y^2 = (a + sqrt(r^2 - z^2))^2
x^2 + y^2 = a^2 + 2 a sqrt(r^2-z^2) + r^2 - z^2
x^2 + y^2 + z^2 - a^2 - r^2 = 2 a sqrt(r^2 - z^2)
(x^2 + y^2 + z^2 - a^2 - r^2)^2 = 4a^2 ( r^2 - z^2)
So damit, wenn das stimmen sollte sind in c) die Kreise:
x^2 + y^2 = (a + r)^2 sowie
x^2 + y^2 = (a - r)^2 gesucht...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3523
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 20:22: |
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Hi Ferdi
Gut sowei !
Fortsetzung später.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3524
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 14:00: |
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Hi allerseits
Zur Lösung der Aufgabe LF 220
a)
Rotationsachse ist die z-Achse.
Als Meridian dient der Kreis
(x-a)^2 + z^2 = r^2 in der (x,z)-Ebene y = 0.
r ist der Kreisradius, a der Abstand des Mittelpunktes
des Kreises von der Rotationsachse.
b)
Eliminiert man die Parameter u und v aus den
Gleichungen
x = (a + r cos u ) cos v
y = (a + r cos u ) sin v
z = r sin u
so erhält man zunächst
[ sqrt (x^2+y^2) – a ] ^ 2 + z ^ 2 – r ^ 2 = 0 ;
nach Wegschaffen der Quadratwurzel entsteht:
[ x^2 + y^2 + z^2 + a^2 – r^2 ] ^ 2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0
Der Torus ist somit eine Fläche vierter Ordnung.
c)
Wir setzen in der letzten Gleichung z = 0 und zerlegen in
Faktoren; Resultat:
[x^2 + y^2 – (a + r) ^2] [x^2 + y^2 – (a - r) ^2] = 0
Gleichung des Äquators:
x^2 + y^2 – (a + r) ^2 = 0 ; Mittelpunkt in O, Radius a + r.
Gleichung des Kehlkreises:
x^2 + y^2 – (a - r) ^ 2 = 0 ; Mittelpunkt in O, Radius a – r.
d)
Die Bedingung lautet:
x^2 + y^2 < a^2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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