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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3522 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 16:43: |
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Hi allerseits In der folgenden Serie der LF-Aufgaben geht es um Torus- oder Ringflächen. Aufgabe LF 220. Eine Torusfläche ist durch die folgende Parameterdarstellung gegeben: x = (a + r cos u ) cos v y = (a + r cos u ) sin v z = r sin u Parameterintervalle: 0 < = u < 2Pi ; 0 < = v < 2Pi a und r const., a > = r ; a > r : ring torus, a = r : horn torus ! a) Welches ist die Rotationsachse und welches sind die geometrischen Daten des Torus? b) Man leite eine Koordinatengleichung der Fläche her, in welcher keine Wurzelterme vorkommen. c) Die (x,y)-Ebene schneidet den Torus in einem kleinen Kreis, dem Kehlkreis, und einem großen Kreis, dem Äquatorkreis. Man ermittle die Gleichungen dieser Kreise algebraisch aus der Koordinatengleichung (Teilaufgabe b)) durch eine Faktorzerlegung. d) Welche Bedingung müssen die Koordinaten eine Punktes B der Fläche erfüllen, falls die Tangentialebene in B die Fläche schneidet? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1129 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 20:05: |
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Hi, ich versuch mich mal an dem was ich kann b): I) und II) werde quadriert und dann addiert: x^2 + y^2 = (a+rcos(u))^2 cos(v)^2 + (a+rcos(u))^2 sin(v)^2 x^2 + y^2 = (a + r cos(u))^2 (A) Quadriere ich III) und löse nach sin^2(u) auf: z^2 / r^2 = sin^2(u) (B) Setze ich nun in A cos(u) = sqrt(1 - sin^2(u)) x^2 + y^2 = (a + r sqrt(1-sin^2(u)))^2 das mit B: x^2 + y^2 = (a + sqrt(r^2 - z^2))^2 x^2 + y^2 = a^2 + 2 a sqrt(r^2-z^2) + r^2 - z^2 x^2 + y^2 + z^2 - a^2 - r^2 = 2 a sqrt(r^2 - z^2) (x^2 + y^2 + z^2 - a^2 - r^2)^2 = 4a^2 ( r^2 - z^2) So damit, wenn das stimmen sollte sind in c) die Kreise: x^2 + y^2 = (a + r)^2 sowie x^2 + y^2 = (a - r)^2 gesucht... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3523 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 20:22: |
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Hi Ferdi Gut sowei ! Fortsetzung später. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3524 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 14:00: |
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Hi allerseits Zur Lösung der Aufgabe LF 220 a) Rotationsachse ist die z-Achse. Als Meridian dient der Kreis (x-a)^2 + z^2 = r^2 in der (x,z)-Ebene y = 0. r ist der Kreisradius, a der Abstand des Mittelpunktes des Kreises von der Rotationsachse. b) Eliminiert man die Parameter u und v aus den Gleichungen x = (a + r cos u ) cos v y = (a + r cos u ) sin v z = r sin u so erhält man zunächst [ sqrt (x^2+y^2) – a ] ^ 2 + z ^ 2 – r ^ 2 = 0 ; nach Wegschaffen der Quadratwurzel entsteht: [ x^2 + y^2 + z^2 + a^2 – r^2 ] ^ 2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) = 0 Der Torus ist somit eine Fläche vierter Ordnung. c) Wir setzen in der letzten Gleichung z = 0 und zerlegen in Faktoren; Resultat: [x^2 + y^2 – (a + r) ^2] [x^2 + y^2 – (a - r) ^2] = 0 Gleichung des Äquators: x^2 + y^2 – (a + r) ^2 = 0 ; Mittelpunkt in O, Radius a + r. Gleichung des Kehlkreises: x^2 + y^2 – (a - r) ^ 2 = 0 ; Mittelpunkt in O, Radius a – r. d) Die Bedingung lautet: x^2 + y^2 < a^2 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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