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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3494
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 16:01: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe 213 soll eine Durchdringungskurve untersucht
werden.
Gegeben wird das Gleichungspaar
x^2 + y^2 + z^2 = a^2
x^2 + y^2 = a x ; a>0
Simultan verwendet, wird dadurch eine Raumkurve c definiert
als Schnittkurve einer Kugel, Radius a, und eines geraden
Kreiszylinders mit dem Radius ½ a.
Man ermittle die Orthogonalprojektionen der Kurve auf die
drei Koordinatenebenen sowie eine Parameterdarstellung von c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3495
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 20:33: |
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Hi allerseits
Lösungshinweis für die Parametrisierung der Kurve:
Man schreibe die Zylindergleichung in der Form
(x - a/2) ^ 2 + y ^ 2 = a^2 / 4 und substituiere
x – a /2 = a /2 * cos t , y = a /2 * sin t
u.s.w.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1111
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 17:15: |
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Hi megamath,
ich hab zwei anstrengende Tage hinter mir, daher erst mal die Parametriesierung:
x = a/2 ( 1 + cos(t) )
y = a/2 sin(t)
z = a sin(t/2)
Kann ich hier um die Orthogonalprojektion auf die Ebenen zu berechnen, jeweils x bzw y oder z (wobei ich hier schon Probleme sehe, das es nur einmal aufkreuzt) eliminiere?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3496
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 18:19: |
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Hi Ferdi
Danke für die Lösung bezüglich der
Parameterdarstellung; sie ist ok
Ich werde meine Lösung der
Vollständigkeit halber nachreichen,
auch die Lösung zu den Normalprojektionen.
Deine Idee dazu ist ebenfalls ok.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3497
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 19:02: |
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Hi allerseits
Eine mögliche Parametrisierung der Kurve gelingt so:
Setze gemäss meinem Lösungshinweis
x = a [cos (½ t) ]^2
y = a sin (½ t) cos (½ t)
z = a sin (½ t)
Und siehe da:
Beide Flächengleichungen werden durch die Funktionen
x(t), y(t), z(t) befriedigt.
Will man die ganze Durchdringungskurve haben, verwende
man das Parameterintervall [0,4Pi].
Ergänzungen dazu folgen später.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3498
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 19:05: |
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Hi allerseits
Zu den Projektionen der Durchdringungskurve auf die
Koordinatenebene:
Die Gleichung x^2 + y^2 = a x des Zylinders gibt
zugleich die Projektion auf der (x,y)-Ebene.
Für die beiden andern Koordinatenebenen erhält man durch
Elimination von x bzw. y die Gleichungen
z ^ 4 = a^2 (z^2 – y^2)
z^2 + a ( x – a ) = 0.
Die erste Gleichung stellt eine Kurve vierter Ordnung dar,
welche im Nullpunkt einen Doppelpunkt mit den
Tangenten z + y = 0 und z – y = 0 hat.
Die Kurve ist bezüglich der beiden Koordinatenachsen y, z
symmetrisch.
Die zweite Gleichung stellt eine Parabel dar,
Scheitelpunkt: x = a , z = 0.
Die Parabel schneidet die positive z-Achse
im Punkt Z mit x = 0 , z = a;
wir kommen später auf diesen Punkt zurück.
Natürlich zählt nur derjenige Teil der Parabel, der im Inneren
des Kreises x^2 + z^2 = a^2 .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3500
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 19:50: |
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Hi Ferdi
Man kann die Parametrisierung noch ein bisschen
weiter treiben!
Mit Hilfe den so genannten Rationalisierungsformeln der
Goniometrie, nach denen aus tan (phi/2) = h
der Reihe nach
sin (phi) = 2 h / (1+h^2)
cos (phi) = (1 – h ^ 2) / (1+ h ^ 2)
tan (phi) = 2 h / ( 1 – h ^ 2 )
wird, entstehen aus tan(t/4) = u folgende Gleichungen
für unsere Kurve:
x = a [(1 - u^2) / (1 + u^2)]^2
y = 2 a [u (1 – u^2) / (1+ u^2)^2]
z = 2 a u / (1 + u^2)
u läuft von minus unendlich bis plus unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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