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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3499
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 19:10: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 214 soll für die Durchdringungskurve
der Aufgabe LF 213 im allgemeinen Punkt Po(xo/yo/zo)
die Gleichung der Normalebene NE ermittelt werden
und zwar direkt aus den beiden die Kurve bestimmenden
Flächengleichungen
x^2 + y^2 + z^2 = a^2
x^2 + y^2 = a x mit a>0
Siehe dazu auch die Aufgabe LF 208.
Man weise nach, dass NE durch den Kugelmittelpunkt geht,
wie es sich für eine sphärische Kurve gehört.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1113
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 21:37: |
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Hi megamath,
wenn ich die Determinante:
| x-xo | y-yo | z-zo | | 2x | 2y | 2z | | 2x-a | 2y | 0 |
entwickle, erhalte ich immer:
2azoy - 2ayoz + 4z(yxo - xyo) = 0
Wo liegt mein Fehler? Oder kann man hier ganz clever was umschreiben?? Naja, muss jetzt ers mal schalfen!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3501
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 13:59: |
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Hi Ferdi,
Wenn Du Dich dereinst erholt hast, kannst Du leicht feststellen,
dass in der zweiten und dritten Zeile der Determinante bei jedem
Element der Index o fehlt!
Anschließend stelle ich meine Lösungsversion ins Netz.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3502
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 14:02: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 214
Wir wählen diejenige Methode, nach welcher man die
Normalebene findet, indem eine gewisse Determinante
null gesetzt wird.
Die Raumkurve ist als Durchdringungskurve
zweier Flächen gegeben:
erste Fläche: f(x,y,z) = 0
zweite Fläche: F(x,y,z) = 0
es gilt:
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - a^2
F(x,y,z) = x^2 + y^2 - a x
Es soll nun die Normalebene NE im Punkt Po(xo/yo/zo)
ermittelt werden.
In die erste Zeile der Determinante D setzen wir
x - xo , y – yo , z – zo
in die zweite Zeile setzen wir der Reihe nach die
partiellen Ableitungen fx, fy, fz von f nach x,y,z;
in die dritte Zeile setzen wir der Reihe nach die
partiellen Ableitungen Fx, Fy, Fz von F nach x,y,z,
alle genommen für x = xo, y=yo ,z=zo !!!
Diese Determinante D wird null gesetzt.
Resultat:
erste Zeile: x - xo ; y – yo ; z - zo
zweite Zeile: 2 xo ; 2 yo ; 2 zo
dritte Zeile: 2 xo – a ; 2 yo ; 0
D = 0 liefert nach Umformungen die Gleichung
der Normalebene NE:
2 yo zo * x + zo (a – 2 xo) * y - a yo * z = 0
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Feststellung: die Ebene geht durch den Nullpunkt,
wie es sein muss!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1114
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 15:02: |
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Hi megamath,
jetzt klappts!! War wohl doch zu spät für mich gestern!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3503
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 16:44: |
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Hi allerseits
Mit einigem Geschick und einer kleinen Prise Glück gelingt
es, die Gleichung der Normalebene auch aus den Komponenten
des Tangentenvektors zu ermitteln.
Ausgangspunkt ist die in der Aufgabe LF 213 hergeleitete
Parameterdarstellung der Kurve:
x = a [cos (m)]^2
y = a sin (m) cos (m)
z = a sin (m)
mit m = ½ t
Wir leiten jede Gleichung nach dem Parameter m ab; es kommt:
x°(m) = - 2 a cos(m) sin(m)
y°(m) = a [2 (cos(m))^2 – 1]
z°(m) = a cos(m)
Wir formen zweckmässig um; für Po (xo/yo/zo) gilt:
x° = - 2 yo
y° = - a + 2 xo
z° = a * (yo/zo), bravo !
Somit lautet eine Koordinatengleichung der gesuchten Normalebene
in Po:
- 2 yo * x + (- a + 2 xo) * y + a * (yo/zo) * z = 0
Daraus wird schließlich:
2 yo zo * x + zo (a – 2 xo) * y - a yo * z = 0
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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