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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3488
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 16:00: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 211 sollen die früher ermittelten Werte
für die Krümmung kappa = K und die Torsion tau = T
der Schraubenlinie mit einer bemerkenswerten
Determinantenformel überprüft werden.
Die Formel bezieht sich auf eine durch
die Parameterdarstellung gegebene Raumkurve, bei welcher
die Bogenlänge s als Parameter dient.
Ortsvektor r des laufenden Punktes P der Kurve:
r = r(s) = {x(s),y(s);z(s)}
daraus:
v = {x°(s);y°(s);z°(s)}………… (erste Ableitungen)
w = {x°°(s);y°°(s);z°°(s)}………… (zweite Ableitungen)
m = {x°°°(s);y°°°(s);z°°°(s)}……… (dritte Ableitungen)
Bau der dreireihigen Determinante DADA:
v ist erster, w zweiter, m dritter Zeilenvektor!
Es gilt:
K^2 * T = DADA
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Aufgabe:
Überprüfe das für die wohlbekannte
Schraubenlinie!
Hinweis:
Man entwickle die Determinante nach der dritten Spalte,
die zwei Nullen enthält.
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1109
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:05: |
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Hi megamath,
ich versuchs mal anders:
r'(s) = t
r''(s) = K * n (LF 210)
r'''(s) = K'n + Kn' = -K^2t + K'n + KTb
(wegen n' = -Kt + Tb)
Nun r'' x r''' =
Kn x (-k^2t + k't + kwb)
-K^3 (n x t) + KK'(n x x) + K^2T (n x b)
-K^3 b + K^2T t
Nimmt man nun dieses Vektorprodukt mal r' =
da b * t = 0 und t * t = 1
K^2*T
Dies ist nun aber wie gesehen:
{ r''(s) x r'''(s) } * r'(s)
und dies ist die Determinante mit den drei Ableitungen als Spalten!!
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3490
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 21:37: |
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Hi Ferdi
Eine sehr elegante Lössun
Vielen Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3493
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 15:51: |
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Hi allerseits
Eine andere Lösungsart der Aufgabe LF 211.
Berechnung der Ableitungen bis und mit zur dritten;
mit c = sqrt (a^2 + b^2) kommt:
x° = -a/c sin s/c = - y/c
y° = a/c cos s/c = x/c
z° = b/c
x°° = - a/c^2 cos s/c = - x /c ^2
y°° = -a/c^2 sin s/c = - y /c^2
z°° = 0
x°°° = a/c^3 sin s/c = y /c^3
y°°° = -a/c^3 cos s/c = - x /c^3
z°°° = 0
Wir haben die neun Elemente der dreireihigen Determinante D,
die wir nach der dritten Kolonne entwickeln.
Resultat:
D = a^2 b / c^6
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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