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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3488 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 16:00: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 211 sollen die früher ermittelten Werte für die Krümmung kappa = K und die Torsion tau = T der Schraubenlinie mit einer bemerkenswerten Determinantenformel überprüft werden. Die Formel bezieht sich auf eine durch die Parameterdarstellung gegebene Raumkurve, bei welcher die Bogenlänge s als Parameter dient. Ortsvektor r des laufenden Punktes P der Kurve: r = r(s) = {x(s),y(s);z(s)} daraus: v = {x°(s);y°(s);z°(s)}………… (erste Ableitungen) w = {x°°(s);y°°(s);z°°(s)}………… (zweite Ableitungen) m = {x°°°(s);y°°°(s);z°°°(s)}……… (dritte Ableitungen) Bau der dreireihigen Determinante DADA: v ist erster, w zweiter, m dritter Zeilenvektor! Es gilt: K^2 * T = DADA °°°°°°°°°°°°°°°°°°° Aufgabe: Überprüfe das für die wohlbekannte Schraubenlinie! Hinweis: Man entwickle die Determinante nach der dritten Spalte, die zwei Nullen enthält. Viel Erfolg wünscht H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1109 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:05: |
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Hi megamath, ich versuchs mal anders: r'(s) = t r''(s) = K * n (LF 210) r'''(s) = K'n + Kn' = -K^2t + K'n + KTb (wegen n' = -Kt + Tb) Nun r'' x r''' = Kn x (-k^2t + k't + kwb) -K^3 (n x t) + KK'(n x x) + K^2T (n x b) -K^3 b + K^2T t Nimmt man nun dieses Vektorprodukt mal r' = da b * t = 0 und t * t = 1 K^2*T Dies ist nun aber wie gesehen: { r''(s) x r'''(s) } * r'(s) und dies ist die Determinante mit den drei Ableitungen als Spalten!! q.e.d. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3490 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 21:37: |
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Hi Ferdi Eine sehr elegante Lössun Vielen Dank! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3493 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 15:51: |
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Hi allerseits Eine andere Lösungsart der Aufgabe LF 211. Berechnung der Ableitungen bis und mit zur dritten; mit c = sqrt (a^2 + b^2) kommt: x° = -a/c sin s/c = - y/c y° = a/c cos s/c = x/c z° = b/c x°° = - a/c^2 cos s/c = - x /c ^2 y°° = -a/c^2 sin s/c = - y /c^2 z°° = 0 x°°° = a/c^3 sin s/c = y /c^3 y°°° = -a/c^3 cos s/c = - x /c^3 z°°° = 0 Wir haben die neun Elemente der dreireihigen Determinante D, die wir nach der dritten Kolonne entwickeln. Resultat: D = a^2 b / c^6 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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