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Annabel (Annabel)
Neues Mitglied
Benutzername: Annabel
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 15:01: | 
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Die Folgende Aufgabe gehört zu meinen Hausaufgaben, 1. Semester! Hab keine Ahnung, wie und womit ich das lösen kann!! Für Hilfe wäre ich echt dankbar!!
In dieser Aufgabe duerfen Sie Ergebnisse der elementaren Trigonometrie
benutzen.
(a) Sie wollen eine schwere Last vom Gewicht G auf einer horizontalen
Ebene mit minimalem Kraftaufwand verschieben. Unter welchem
Winkel muss die Kraft angreifen? (Aus dem Physikunterricht
erinnern Sie sich, dass die Reibung proportional zu der Kraft
ist, die der Körper auf die Ebene aus¨ubt. Die Proportionalitätskonstante
heißt Reibungskoeffizient.)
(b) Auf einer horizontalen Ebene liegt eine Halbkugel vom Radius
r. Sie wollen einen Kegel über diese Halbkugel stülpen, dessen
Basis ebenfalls in der Ebene liegt (so dass also der Kegel und die
Halbkugel die Ebene in konzentrischen Kreisen schneiden). Wie
müssen Sie den Kegel wählen, damit sein Volumen minimal wird? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 912
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 19:18: |
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Hi,
mal zu b.)
Wenn man durch die beiden Körper einen Achsenschnitt macht, sieht man ein gleichschenkeliges Dreieck, dem ein Halbkreis (r) eingeschrieben ist. Das gleichschenkelige Dreieck zerfällt durch die Höhe (nennen wir y) in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Die Kathethen sind der Radius des Kegels, den wir x nennen, und dessen Höhe y. Dort, wo der Halbkreis die Hypothenuse s (s = sqrt(x² + y²)) berührt, steht der Radius r normal auf s, und es entsteht dadurch ein zweites rechtwinkeliges Dreieck, das ähnlich zu dem anderen ist (der Winkel an der Spitze ist der gleiche).
Somit ist:
r : y = x : s
r*sqrt(x² + y²) = xy .. Nebenbedingung (NB)
Das Volumen des Kegels ist
V = x²*pi*y/3 .. Minimum, Hauptbedingung (HB)
Wir formen die NB noch etwas um und berechnen x².
r*sqrt(x² + y²) = xy |²
r²x² + r²y² = x²y² ->
x²(y² - r²) = r²y²
x² = r²*y²/(y² - r²)
das in V einsetzen
V = pi*y*r²*y²/(y² - r²)
Für das Extremum können wir die konstanten Faktoren pi und r² weglassen ..
V(y) = y³/(y² - r²)
V'(y) = [3y²*(y² - r²) - y³*2y]/(y² - r²)²
V'(y) = (y² - 3r²)/(y² - r²)²
V'(y) = 0
y² - 3r² = 0
y = r*sqrt(3)
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aus NB: x² = r²*3r²/(2r²)
x² = 3r²/2
x = r*sqrt((3/2))
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V_Keg = (3r²/2)*pi*r*sqrt(3)/3
V_Keg = r³pi*sqrt(3)/2
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Nun noch auf das Minimum prüfen (2. Abl. beim Extr. muss > 0 sein)
V''(r*sqrt(3)) = 2y /(y² - r²)²
das geht deswegen so, weil die erste Ableitung bei der Extremstelle gleich Null ist; die erste Ableitung ist ein Bruch u/v, die zweite demnach
(u'v - uv')/v², setzt man dort v' = 0, kommt als 2. Abl. u'/v heraus. Es genügt also, nur den Zähler abzuleiten und den Nenner unverändert lassen.
V''(r*sqrt(3)) = 2r*sqrt(3) /(3r² - r²)²
V''(r*sqrt(3)) > 0, daher Minimum
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 31., Januar. 2004 von mythos2002 editiert) |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 11:42: |
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zur a:
vermutlich soll die Haftreibung vernachlässigt werden, also es soll eine reine Gleitreibung betrachtet und der Winkel so gewählt werden, dass gerade noch Bewegung erhalten bleibt. Folglich muss die horizontale Komponente gleich der vertikalen Komponente mal dem Reibungskoeffizienten sein, so dass du den Tangens des Winkels in Abhängigkeit vom Reibungskoeffizienten bekommst. |
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