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Pferdi (Pferdi)
Neues Mitglied
Benutzername: Pferdi
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 14:46: | 
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habe Probleme mit folgendem Integral:
int(1/(1+x^4))dx von -unendl. bis +unendl.
habe Substitution mit x^2 = t probiert (wegen Ableitung von arctan = 1/(1+x^2)) - habe aber nichts gefunden, womit ich weiterkäme. Kann man hier wieder irgendwie die Gammafunktion anwenden?
Lösung müßte pi/2*Wurzel(2) sein. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1949
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 16:06: |
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Komplex faktoriesieren und
anders rekombinieren.
Dann Partialbruchzerlegung
(Beitrag nachträglich am 28., Januar. 2004 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3460
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 19:40: |
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Hi Pferdi,
Friedrich hat den Anfang gemacht, ich fahre weiter!
Setze die Partialbruchzerlegung an:
1/(1+x^4) = (Ax + B)/(x^2 + x wurzel 2 +1) +
+(Cx + D)/(x^2 - x wurzel 2 +1)
Der Koeffizientenvergleich liefert:
A = - C = 1/(2*wurzel(2))
B = D = ½
Setze damit vier unbestimmte Integrale an,
je zwei mit den Zählern x dx und wurzel(2) dx;
die ersten beiden führen auf ln-Funktionen, die andern
auf Arcustangens - Funktionen
Damit bekommst Du schließlich eine Stammfunktion
für Dein uneigentliches Integral.
In einer Fortsetzung gebe ich später, sofern nötig, Détails
bekannt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3462
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Januar, 2004 - 07:37: |
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Hi Pferdi
Zur Kontrolle Deiner eigenen Rechung
gebe ich Dir eine Stammfunktion F(x) von
f(x) =1 / (1 + x^4) an, so wie sie sich gemäß
meiner Rezeptur und einem nachhaltigen Blick
in Integraltafeln ergibt.
Zur Abkürzung sei wurzel(2) mit w bezeichnet;
dann ist:
F(x) = 1/ (4 w) * ln {(x^2 + w x + 1) / (x^2 – w x +1)} +
1 / (2 w) * arc tan (w x + 1) + 1 / (2 w) * arc tan (w x -1).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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