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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3439
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 15:13: | 
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Hi allerseits
Zur Abwechslung und Erholung erscheint als LF 1999 eine
algebraische Aufgabe.
b(n,k) sei der Binomialkoeffizient „n über k“ , bezeichnet nach Miss Marple V.
Eine Summe S = S(n) mit n Summanden soll berechnet und
möglichst stark vereinfacht werden.
Das allgemeine Glied ak der Summe mit k als Summationsindex lautet:
ak = (-1) ^ k * b(n,k)* (n + 1 – k) ^ n
k läuft von 0 bis n-1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 766
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 15:27: |
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Megamath,
Es gilt
S(n) = n! + (-1)n+1
Hier aus Zeitgründen nur kurze (und vermutlich nicht sehr elegante) Beweisskizze:
Ich wechsle zum Summationsindex n-k=:r,
benutze binom(n,k) = binom(n,r) und schreibe
S(n) = Sn r=1 (-1)n-r binom(n,r)(r+1)n
= (-1)n+1 + T(n) ,
mit
T(n) := Sn r=0(-1)n-r binom(n,r) (r+1)n
= Sn r=0(-1)n-r r binom(n,r) (r+1)n-1+
Sn r=0(-1)n-r binom(n,r) (r+1)n-1.
Wegen r binom(n,r) = n binom(n-1,r-1) ist die erste
Summe = n T(n-1). Die zweite Summe ist für n>0 immer
= 0, also gilt T(n) = n T(n-1) und wegen T(0) = 1
somit T(n) = n!.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3447
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 16:39: |
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Hi Orion
Deine Lösungsmethode gefällt mir ausgezeichnet!
Besten Dank.
In der ursprünglichen Fassung der Aufgabe
hatte ich bloß nach T(n) gefragt.
Beinahe von selbst hat sich die Frage nach S(n)
eingeschlichen; ich war sogar stolz auf diese
Schikane, die Wirkung war allerdings gering,
wie sich nun gezeigt hat.
Später möchte ich auch meine Lösungsmethode
skizzieren, welche Bezug nimmt auf den Operator
Delta aus der Differenzenlehre.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3448
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 22:01: |
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Hi Orion
Hier mein Lösungsvorschlag in Kurzfassung.
Die Aufgabe kann mit den Kenntnissen der
Differenzenlehre gelöst werden.
Es folgen ein paar Hinweise dazu:
Aus einer gegebenen Funktion f(x) bildet man
die neue Funktion
Delta f(x) = f(x+1) – f(x)
Es ist etwa Delta x^3 = D x^3 = 3x^2+3x+1.
Iteriert man Delta f(x), so erhält man
die zweite Differenz DDals erste Differenz der ersten Differenz
die dritte Differenz als erste Differenz der zweiten Differenz
………………………………………………………………………………………………..
die n-te Differenz als erste Differenz der (n-1)- ten Differenz.
So ist zum Beispiel die dritte Differenz von x^3 = 6,
wie die folgende Rechnung zeigt:
DD x^3 = D (3x^2 +3x +1) = 6x + 6
DDD x^3 = D (6x+6) = 6 = 3!
Andrerseits:
DDD(x^3) = (x+3)^3 -3(x+3-1)^3 +3(x+3-2)^3 – (x^3)^3
= 3!.
Dies erinnert and die Aussage in der vorgelegten Aufgabe.
Es gelten u.a. die folgenden beiden Sätze,
die meistens mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
Mit deren Hilfe kann die vorgelegte Aufgabe gelöst werden
1.
Für f(x) = x^n stimmt die n-te Differenz mit n! überein.
2.
für die n-te Differenz von f(x) gilt,
mit b(n,k) als Binomialkoeffizient:
D.D….D (f(x)) =
f(x+n) - b(n,1) * f(x+n-1) + b(n,2)*f(x+n-2)
+…………..+ (-1)^n * f(x).
In unserem Fall gilt f(x) = x^n, und wir erhalten
schließlich die gesuchte Darstellung für n!.
Deine Herleitung ist nach meiner Meinung
um einiges durchsichtiger!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1097
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 16:19: |
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Hi megamath,
deine Lösung finde ich auch nicht schlecht. Vorallem, da ich das Thema Differenzenlehre noch nie gehört habe!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3449
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 16:52: |
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Hi Ferdi
In einer späteren Serie der LF-Aufgaben
komme ich auf das Thema zurück.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 767
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 17:08: |
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Hallo,
ich bin mir bewusst, dass mein Beweis unvollständig
ist : Man muss noch zeigen, dass wenn
R(n) := Sn k=0(-1)n-rbinom(n,r)(r+1)n-1,
dann R(n) = 0 für alle n>0. Die unsterbliche Miss Marple bestätigt dies jedenfalls für n=1,2,...,10.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3452
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 18:25: |
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Hi Orion, Hi Ferdi
Hier tut sich ein weites Feld auf, und Miss Marple ist
ausgelastet mit Spurensuche.
Eine weitere Delikatesse:
Das allgemeine Glied einer endlichen Summe MM über j
für j = 0 bis j= n sei
m = (-1)^j * binomial(n,j) * (x+n-j)^(n-1)
Man bestätige:
MM = 0 für alle x und n € N
MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 769
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 09:05: |
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Hallo,
Ja, da war bei mir wieder so einiges in Vergessenheit
geraten: Bezeichnet D den Differenzenoperator, also
Df(x) = f(x+1) - f(x),
so gilt (Induktion !)
Dn f(x) =
Sn k=0 (-1)n-kbinom(n,k)f(x+k).
Beachtet man, dass Dnxm = 0 für n>m
und wendet obige Formel auf f(x) = xn-1 an, so
ist man schon am Ziel (k=n-j als Summationsindex).
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3458
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 10:50: |
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Hi Orion,
Das ist alles bestens und
elegant erledigt!
MfG
H.R.Moser,megamath
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