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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3439 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 15:13: |
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Hi allerseits Zur Abwechslung und Erholung erscheint als LF 1999 eine algebraische Aufgabe. b(n,k) sei der Binomialkoeffizient „n über k“ , bezeichnet nach Miss Marple V. Eine Summe S = S(n) mit n Summanden soll berechnet und möglichst stark vereinfacht werden. Das allgemeine Glied ak der Summe mit k als Summationsindex lautet: ak = (-1) ^ k * b(n,k)* (n + 1 – k) ^ n k läuft von 0 bis n-1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 766 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 15:27: |
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Megamath, Es gilt S(n) = n! + (-1)n+1 Hier aus Zeitgründen nur kurze (und vermutlich nicht sehr elegante) Beweisskizze: Ich wechsle zum Summationsindex n-k=:r, benutze binom(n,k) = binom(n,r) und schreibe S(n) = Sn r=1 (-1)n-r binom(n,r)(r+1)n = (-1)n+1 + T(n) , mit T(n) := Sn r=0(-1)n-r binom(n,r) (r+1)n = Sn r=0(-1)n-r r binom(n,r) (r+1)n-1+ Sn r=0(-1)n-r binom(n,r) (r+1)n-1. Wegen r binom(n,r) = n binom(n-1,r-1) ist die erste Summe = n T(n-1). Die zweite Summe ist für n>0 immer = 0, also gilt T(n) = n T(n-1) und wegen T(0) = 1 somit T(n) = n!.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3447 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 16:39: |
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Hi Orion Deine Lösungsmethode gefällt mir ausgezeichnet! Besten Dank. In der ursprünglichen Fassung der Aufgabe hatte ich bloß nach T(n) gefragt. Beinahe von selbst hat sich die Frage nach S(n) eingeschlichen; ich war sogar stolz auf diese Schikane, die Wirkung war allerdings gering, wie sich nun gezeigt hat. Später möchte ich auch meine Lösungsmethode skizzieren, welche Bezug nimmt auf den Operator Delta aus der Differenzenlehre. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3448 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 22:01: |
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Hi Orion Hier mein Lösungsvorschlag in Kurzfassung. Die Aufgabe kann mit den Kenntnissen der Differenzenlehre gelöst werden. Es folgen ein paar Hinweise dazu: Aus einer gegebenen Funktion f(x) bildet man die neue Funktion Delta f(x) = f(x+1) – f(x) Es ist etwa Delta x^3 = D x^3 = 3x^2+3x+1. Iteriert man Delta f(x), so erhält man die zweite Differenz DDals erste Differenz der ersten Differenz die dritte Differenz als erste Differenz der zweiten Differenz ……………………………………………………………………………………………….. die n-te Differenz als erste Differenz der (n-1)- ten Differenz. So ist zum Beispiel die dritte Differenz von x^3 = 6, wie die folgende Rechnung zeigt: DD x^3 = D (3x^2 +3x +1) = 6x + 6 DDD x^3 = D (6x+6) = 6 = 3! Andrerseits: DDD(x^3) = (x+3)^3 -3(x+3-1)^3 +3(x+3-2)^3 – (x^3)^3 = 3!. Dies erinnert and die Aussage in der vorgelegten Aufgabe. Es gelten u.a. die folgenden beiden Sätze, die meistens mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Mit deren Hilfe kann die vorgelegte Aufgabe gelöst werden 1. Für f(x) = x^n stimmt die n-te Differenz mit n! überein. 2. für die n-te Differenz von f(x) gilt, mit b(n,k) als Binomialkoeffizient: D.D….D (f(x)) = f(x+n) - b(n,1) * f(x+n-1) + b(n,2)*f(x+n-2) +…………..+ (-1)^n * f(x). In unserem Fall gilt f(x) = x^n, und wir erhalten schließlich die gesuchte Darstellung für n!. Deine Herleitung ist nach meiner Meinung um einiges durchsichtiger! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1097 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 16:19: |
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Hi megamath, deine Lösung finde ich auch nicht schlecht. Vorallem, da ich das Thema Differenzenlehre noch nie gehört habe! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3449 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 16:52: |
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Hi Ferdi In einer späteren Serie der LF-Aufgaben komme ich auf das Thema zurück. MfG H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 767 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 17:08: |
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Hallo, ich bin mir bewusst, dass mein Beweis unvollständig ist : Man muss noch zeigen, dass wenn R(n) := Sn k=0(-1)n-rbinom(n,r)(r+1)n-1, dann R(n) = 0 für alle n>0. Die unsterbliche Miss Marple bestätigt dies jedenfalls für n=1,2,...,10.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3452 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 18:25: |
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Hi Orion, Hi Ferdi Hier tut sich ein weites Feld auf, und Miss Marple ist ausgelastet mit Spurensuche. Eine weitere Delikatesse: Das allgemeine Glied einer endlichen Summe MM über j für j = 0 bis j= n sei m = (-1)^j * binomial(n,j) * (x+n-j)^(n-1) Man bestätige: MM = 0 für alle x und n € N MfG H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 769 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 09:05: |
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Hallo, Ja, da war bei mir wieder so einiges in Vergessenheit geraten: Bezeichnet D den Differenzenoperator, also Df(x) = f(x+1) - f(x), so gilt (Induktion !) Dn f(x) = Sn k=0 (-1)n-kbinom(n,k)f(x+k). Beachtet man, dass Dnxm = 0 für n>m und wendet obige Formel auf f(x) = xn-1 an, so ist man schon am Ziel (k=n-j als Summationsindex). mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3458 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 10:50: |
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Hi Orion, Das ist alles bestens und elegant erledigt! MfG H.R.Moser,megamath
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