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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3411
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 14:12: | 
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Hi allerseits
Es ist angebracht, mit einer Aufgabe LF 199* eine
zusätzliche Aufgabe zu stellen, gewissermassen
eine Zugabe.
Die Aufgabe ist besonders reizvoll, eine Delikatesse.
Ich nehme Bezug auf das Resultat der Aufgabe
LF 193.
Die Aufgabe LF 199* lautet:
Gegeben ist die algebraische Fläche dritter Ordnung
mit der Koordinatengleichung
x y z = a^3, a ist eine von null verschiedene Konstante.
In einem beliebigen Punkt Po(xo/yo/zo) der Fläche wird
die Tangentialebene T gelegt, welche die X-Achse in A,
die y-Achse in B, die z-Achse in C schneidet.
a)
Man berechne das Volumen V des Tetraeders mit
den Ecken OABC (O: Nullpunkt des Koordinatensystems).
Was fällt auf?
b)
Man beweise: Der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC
fällt mit dem Berührungspunkt der Tangentialebene T
zusammen, und das ist sensationell!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1085
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 19:16: |
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Hi megamath,
ich hab im Moment leider kaum Zeit, wir stehen kurz vor einer großen Kompanieübung, daher kann ich die Aufgaben nur langsam anschauen und bearbeiten!
Diese ist wirklich schön:
Die Tangentialebene hat als Normalenvektor den Gradienten der Fläche im Punkte P:
n = { yozo , xozo , xoyo }
Wir fordern weiterhin das P in der Ebene liegt, und nutzen dabei aus, das P auch auf der Fläche liegt also xoyozo=a^3 gilt!
E: yozo x + xozo y + xoyo z = 3a^3
a)
Wir haben als Grundfläche ja das Dreieck ABC und die Höhe ist der Abstand von O zu E!
Berechnen wir den Dreieckinahlt über 0,5*|AB x AC| , und die Höhe über Hesse, so erhalten wir ein interesantes Ergebniss!!
Das Volumen ist unabhängig von der Wahl von P auf der Fläche!!!
V = 27 a^3 / 2
b)
Die Schnittpunkt lauten ja:
A = 3a^3 / yozo , 0 , 0
B = 0 , 3a^3 / xozo , 0
z = 0 , 0 , 3a^3 / xoyo
Nutzen wir nun a^3 = x0y0z0, und wissen das S=(1/3)*{A+B+C}, so erhalten wir:
S = P ! q.e.d.
Aber warum ist das eine Sensation, ich finde ehr das Ergebniss aus a) sensationell!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3413
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 20:28: |
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Hi Ferdi
Du hast den Kern der Aufgabe richtig erfasst!
Ein paar Retouchen :
Das Volumen des Tetraeders ergibt sich subito
als sechster Teil des Produkts der Kantenlängen
OA * OB * OC =
1/6 * 3xo*3yo*3zo = 9/2 * a^3 = constans.
Was man als sensationell empfindet ,ist Ansichtssache.
Jedenfalls ist die Aufgabe instruktiv;
sie regt zum Nachdenken an.
Das soll auch der Zweck der Übung sein
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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