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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3411 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 14:12: |
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Hi allerseits Es ist angebracht, mit einer Aufgabe LF 199* eine zusätzliche Aufgabe zu stellen, gewissermassen eine Zugabe. Die Aufgabe ist besonders reizvoll, eine Delikatesse. Ich nehme Bezug auf das Resultat der Aufgabe LF 193. Die Aufgabe LF 199* lautet: Gegeben ist die algebraische Fläche dritter Ordnung mit der Koordinatengleichung x y z = a^3, a ist eine von null verschiedene Konstante. In einem beliebigen Punkt Po(xo/yo/zo) der Fläche wird die Tangentialebene T gelegt, welche die X-Achse in A, die y-Achse in B, die z-Achse in C schneidet. a) Man berechne das Volumen V des Tetraeders mit den Ecken OABC (O: Nullpunkt des Koordinatensystems). Was fällt auf? b) Man beweise: Der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC fällt mit dem Berührungspunkt der Tangentialebene T zusammen, und das ist sensationell! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1085 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 19:16: |
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Hi megamath, ich hab im Moment leider kaum Zeit, wir stehen kurz vor einer großen Kompanieübung, daher kann ich die Aufgaben nur langsam anschauen und bearbeiten! Diese ist wirklich schön: Die Tangentialebene hat als Normalenvektor den Gradienten der Fläche im Punkte P: n = { yozo , xozo , xoyo } Wir fordern weiterhin das P in der Ebene liegt, und nutzen dabei aus, das P auch auf der Fläche liegt also xoyozo=a^3 gilt! E: yozo x + xozo y + xoyo z = 3a^3 a) Wir haben als Grundfläche ja das Dreieck ABC und die Höhe ist der Abstand von O zu E! Berechnen wir den Dreieckinahlt über 0,5*|AB x AC| , und die Höhe über Hesse, so erhalten wir ein interesantes Ergebniss!! Das Volumen ist unabhängig von der Wahl von P auf der Fläche!!! V = 27 a^3 / 2 b) Die Schnittpunkt lauten ja: A = 3a^3 / yozo , 0 , 0 B = 0 , 3a^3 / xozo , 0 z = 0 , 0 , 3a^3 / xoyo Nutzen wir nun a^3 = x0y0z0, und wissen das S=(1/3)*{A+B+C}, so erhalten wir: S = P ! q.e.d. Aber warum ist das eine Sensation, ich finde ehr das Ergebniss aus a) sensationell! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3413 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 20:28: |
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Hi Ferdi Du hast den Kern der Aufgabe richtig erfasst! Ein paar Retouchen : Das Volumen des Tetraeders ergibt sich subito als sechster Teil des Produkts der Kantenlängen OA * OB * OC = 1/6 * 3xo*3yo*3zo = 9/2 * a^3 = constans. Was man als sensationell empfindet ,ist Ansichtssache. Jedenfalls ist die Aufgabe instruktiv; sie regt zum Nachdenken an. Das soll auch der Zweck der Übung sein Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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