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Lockere Folge 175 : Hyperboloid I

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3341
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 19:34:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 175 ist eine Hyperboloidaufgabe zu lösen.

Die Gleichung des Hyperboloides lautet:
4 x^2 + 25 y^2 – 100 z^2 = 2500
Auf seiner Kehlellipse liegt der Punkt K(15/8/0).
Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden m1 und m2,
welche durch K gehen und auf dem Hyperboloid liegen.
Weise rechnerisch nach, dass die von m1 und m2
aufgespannte Ebene eine Tangentialebene des
Hyperboloides ist.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1059
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 20:11:   Beitrag drucken

Hi megamath!

Ich wähle eine beliebige Gerade durch K!

x = 15 + tu , y = 8 + tv , z = tw

Nun fordern wir das diese Gerade ganz in/auf der Fläche liegt, das heißt wir setzen ein, und fordern das für jedes t ein Schnittpunkt existiert, wir erhalten daher ein Gleichungssystem:

4u^2 + 25v^2 - 100w^2 = 0
120u + 400v = 0

Hier hab ich noch w = 1 gesetzt, man machts sich ja einfach! Dann hat das System die Lösungen:
u = +-4 , v = +-1,2 , w = 1

Die Geraden lauten dann:

m1: {15,8,0} + t * {20,-6,5}
m2: {15,8,0} + t * {-20,6,5}

Diese spannen nun, wie man leicht nachrechnet die Ebene 3x + 10y = 125 auf!

Nun lautet aber eine Tangentialebene des Hyperboloids im Punkt B(a,b,c)

4ax + 25by - 100cz = 2500

Man sieht für E a=15, b=8, c=0, es ist also ein Tangentialebene, grade im Punkt K! War dies beabsichtig oder allgemein so?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3343
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 07:25:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Deine (elegante und richtige) Lösung erschien
viel schneller als erwartet.
Ich hatte bereits einen Lösungshinweis vorbereitet,
den ich hier nachträglich ins Netz stelle.
Er könnte für potentielle Interessenten nützlich sein.
Eine ähnliche Aufgabe erschien übrigens im Nov.2003
unter der Nummer LF 106.
Wie die Zeit vergeht!


Lösungshinweis zur Aufgabe LF 175

Man lege durch den Punkt K eine beliebige
Gerade (Gleichung in Parameterform)
und fordere, dass sie ganz in der Fläche liegt.
Als Ansatz für die beiden Geraden durch K wähle man
x = 15 + f t, y = 8 + g t , z = 0 + 1 t
t als Parameter; f und g sind die zu bestimmenden
x und y Koordinaten eines Richtungsvektors von m,
die z-Koordinate wurde normiert und ist 1.

Setze diese Werte in die Hyperboloid-Gleichung ein,
ordne nach Potenzen von t und fordere, dass der Term
identisch,d.h. für alle t-Werte, verschwindet.

Ermittle sodann die Gleichung der Ebene, die von m1,m2
aufgespannt wird.
Ihre Spur in der Ebene der Kehlellipse ist Tangente an diese,
wie man leicht bestätigt.
Damit ist die fragliche Ebene eine Tangentialebene.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3344
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 07:29:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die (x-y)-Projektion der beiden Mantellinien m1, m2 sind tatsächlich
Tangenten der Kehlellipse im Punkt P(15/8/0).
Das rührt davon her, dass die Tangentialebenen in den
Punkten der Kehlellipse auf der (x,y)-Ebene senkrecht stehen, also
projizierend sind.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1060
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 12:40:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich wusste doch das mir die Aufgabe bekannt vorkam! Da sieht man mal was ich schon alles bei der LF Serie gelernt habe! Machen wir weiter so!

mfg

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