| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3335
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 10:38: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 173 ist eine Repetitionsaufgabe.
Gegeben ist die Kugel x^2 + y^2 + z^2 = 9
Ein Tangentenzylinder Zy der Kugel hat die
Achsenrichtung a = {2;1;-2}
a)
Man ermittle eine Koordinatengleichung von Zy.
b)
Der Zylinder schneidet die (x,y)-Ebene in einer Ellipse.
Man bestimme die Halbachsen, die Scheitel
und die Brennpunkte der Ellipse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1056
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 14:56: |
|
Hi megamath,
mit den Ergebnissen von gestern nicht mehr schwer!
a)
5x^2 + 8y^2 + 5z^2 - 4xy + 8xz + 4yz = 81
z=0
5x^2 - 4xy + 8y^2 = 81
Die quadratische Form hat die Eigenwerte 9 und 4 also, nach Verschiebung:
(2u/9)^2 + (v/3)^2 = 1
mit a = 9/2 und b = 3 !
mfg
PS. Mit den Scheiteln will es nicht so hinhauen! Kann man auch ohne Dk hier direkt die Brennpunkte auslesen? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3338
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 15:30: |
|
Hi Ferdi
Auch diese Lösung ist korrekt.
Es sollte "Drehung" statt "Verschiebung" heissen.
Es liegt eine gedrehte Ellipse vor;
Zentrum in O.
Wenn Du die Richtungen m und -1/m der
Hauptachsen kennst, bekommst Du die Scheitel
als Schnittpunkte der Ellipse mit
Ursprungsgeraden;
es gilt m = 1/2.
wie die Eigenvektoren ergeben.
Anderer Weg: tan (2 phi) = 2 B /(A-C)
mit phi als Richtungswinkel einer Hauptachse; A,B,C :
Koeffizienten der quadratischen Form.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3339
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 15:56: |
|
Hi Ferdi
Um die Scheitelpunkte der Ellipse zu ermitteln,
insbesondere die Nebenscheitel, kannst Du
auch so vorgehen:
Bestimme die Schnittgerade der Normalebene
durch O zur Zylinderachse mit der (x,y)-Ebene, die
so genannte erste Spur der Normalebene .
Die Gleichung dieser Spur lautet y = - 2x;
auf ihr liegen die Nebenscheite; die Hauptscheitel
und die Brennpunkte liegen auf dem Grundriss
der Zylinderachse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1058
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 16:59: |
|
Hi,
dann müssten die Scheitel lauten:
HS1 : ( 3/sqrt(5) | -6/sqrt(5) )
HS2 : ( -3/sqrt(5) | 6/sqrt(5) )
NS1 : ( 9/sqrt(5) | 9/2*sqrt(5) )
NS2 : ( -9/sqrt(5) | -9/2*sqrt(5) )
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3340
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 17:04: |
|
Hi Ferdi
Ja,das stimmt!
MfG
H.R.Moser,megamath |
