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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3313 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 10:28: |
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Hi allerseits Es folgt die Aufgabe LF 166 Es liegt ein Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c in einfacher Lage vor; Gleichung: x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1 Es gilt der Satz: Die Summe der reziproken Quadrate von je drei aufeinander senkrecht stehenden Halbmessern ist konstant,also: 1 / r1^2 + 1/ r2^2 + 1/ r3^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2; mit r1^2 = (O P1)^2 , r2^2= (O P2)^2 , r3^2 = (O P3)^2; O P1, O P2 , OP 3 sind drei paarweise orthogonale Halbmesser. Man beweise diesen Satz. Alternative: Man bestätige diese Aussage am numerischen Beispiel a = 1 , b = 2, c = 3 Richungsvektuor v1 von O P1 : v1 = {2;1;2} Richungsvektuor v2 von O P2 : v2 = {2;-2;-1} Richungsvektuor v3 von O P3 : v3 = {1;2;-2} Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1041 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 16:45: |
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Hi megamath, am allgemeinen Beweis hab ich mir die Zähne ausgebissen, aber numerisch ist die Sache klar! Schneide jeweils die Geraden OP1, OP2 und OP3 mit dem Ellipsoid. Dann nimmt man jeweils die Schnittpunkte die zum positiven Parameterwert gehören und berechnet deren Abstände r zum Mittelpunkt des Ellipsoids, hier Erhalten wir: S1 ( 12/13 , 6/13 , 12/13 ) S2 ( 6/sqrt(46) , -6/sqrt(46) , 3/sqrt(46) ) S3 ( 3/sqrt(22) , 6/sqrt(22) , -6/sqrt(22) ) Also: r1: 18/13 , r2: 9/sqrt(46) , r3: 9/sqrt(22) 1/r1^2 + 1/r2^2 + 1/r3^2 = 49/36 und das ist gleich 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 q.e.d. Mich würde aber auch der allgemeine Beweis interessieren! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3315 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 17:53: |
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Hi Ferdi Das ist in bester Ordnung! Die allgemeine Lösung habe ich in petto. Ich muss aber aus Zeitgründen zuwarten. Ich wäre auch an einer Lösung von dritter Seite interessiert. MfG H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 756 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 18:07: |
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Megamath, Der erste Halbmesser sei durch den Richtungsvektor u = (u1,u2,u3)t mit |u| = 1 bestimmt. Dann rechnet man unmittelbar aus, dass 1/r12 = u12/a2+u22/b2/+u32/c2. Bilden nun die 3 Vektoren u,v,w ein Orthonormalsystem, so gelten entsprechende Formeln für 1/r22 und 1/r32, und es ist S3 k=1 1/rk2 = (u12+v12+w12)/a2 + (u22+v22+w22)/b2 + (u32+v32+w32)/c2. Andererseits bilden u,v,w die Spalten einer orthogonalen Matrix T, d.h. es ist TTt = E . Speziell ist daher uk2 + vk2+wk2 = 1, k=1,2,3. Also S3 k=1 1/rk2 = 1/a2+1/b2+1/c2. Die Verallgemeinerung für n Dimensionen liegt auf der Hand.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1042 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 18:41: |
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Hi Orion, fantastisch. Auf diese Idee bin ich gar nicht gekommen. Ich wundere mich immer wieder, wo ihr solche Einfälle her habt! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3316 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 19:19: |
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Hi Orion,Hi Ferdi Das ist wirklich sehr schön und zeigt,wofür und wozu man scheinbar abstrakte Dinge darbietet und lernt. Meine Lösung geht übrigens genauu so. Im Zentrum steht die Tatasach,dass eine Matrix,die nach Zeilen orthogonal ist,auch nach Kolonnen orthogonal ist. Die Matrizenrechnung bietet auch Gewähr,dass die Aussage von der Dimensionszahl unabhängig ist Besten Dank Orion Freundliche Grüsse H.R.moser,megamath
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