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Lockere Folge 166 ;: Ellipsoid VI

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3313
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 10:28:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Es folgt die Aufgabe LF 166

Es liegt ein Ellipsoid mit den Halbachsen
a,b,c in einfacher Lage vor;
Gleichung:
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1

Es gilt der Satz:
Die Summe der reziproken Quadrate von je drei aufeinander
senkrecht stehenden Halbmessern ist konstant,also:
1 / r1^2 + 1/ r2^2 + 1/ r3^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2;
mit r1^2 = (O P1)^2 , r2^2= (O P2)^2 , r3^2 = (O P3)^2;
O P1, O P2 , OP 3 sind drei paarweise orthogonale Halbmesser.

Man beweise diesen Satz.

Alternative:
Man bestätige diese Aussage am numerischen Beispiel
a = 1 , b = 2, c = 3
Richungsvektuor v1 von O P1 : v1 = {2;1;2}
Richungsvektuor v2 von O P2 : v2 = {2;-2;-1}
Richungsvektuor v3 von O P3 : v3 = {1;2;-2}

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1041
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 16:45:   Beitrag drucken

Hi megamath,

am allgemeinen Beweis hab ich mir die Zähne ausgebissen, aber numerisch ist die Sache klar!

Schneide jeweils die Geraden OP1, OP2 und OP3 mit dem Ellipsoid. Dann nimmt man jeweils die Schnittpunkte die zum positiven Parameterwert gehören und berechnet deren Abstände r zum Mittelpunkt des Ellipsoids, hier Erhalten wir:

S1 ( 12/13 , 6/13 , 12/13 )
S2 ( 6/sqrt(46) , -6/sqrt(46) , 3/sqrt(46) )
S3 ( 3/sqrt(22) , 6/sqrt(22) , -6/sqrt(22) )

Also:

r1: 18/13 , r2: 9/sqrt(46) , r3: 9/sqrt(22)

1/r1^2 + 1/r2^2 + 1/r3^2 = 49/36

und das ist gleich 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2

q.e.d.

Mich würde aber auch der allgemeine Beweis interessieren!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3315
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 17:53:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Das ist in bester Ordnung!
Die allgemeine Lösung habe ich in petto.
Ich muss aber aus Zeitgründen
zuwarten.
Ich wäre auch an einer Lösung von dritter Seite interessiert.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 756
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 18:07:   Beitrag drucken

Megamath,

Der erste Halbmesser sei durch den Richtungsvektor
u = (u1,u2,u3)t mit |u| = 1
bestimmt. Dann rechnet man unmittelbar aus, dass

1/r12 =

u12/a2+u22/b2/+u32/c2.

Bilden nun die 3 Vektoren u,v,w ein
Orthonormalsystem, so gelten entsprechende
Formeln für 1/r22 und 1/r32, und es ist

S3 k=1 1/rk2 =

(u12+v12+w12)/a2 +

(u22+v22+w22)/b2 +

(u32+v32+w32)/c2.

Andererseits bilden u,v,w die Spalten
einer orthogonalen Matrix T, d.h. es ist

TTt = E .

Speziell ist daher

uk2 + vk2+wk2 = 1, k=1,2,3.

Also

S3 k=1 1/rk2 = 1/a2+1/b2+1/c2.

Die Verallgemeinerung für n Dimensionen liegt auf
der Hand.

mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1042
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 18:41:   Beitrag drucken

Hi Orion,

fantastisch. Auf diese Idee bin ich gar nicht gekommen.

Ich wundere mich immer wieder, wo ihr solche Einfälle her habt!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3316
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 19:19:   Beitrag drucken

Hi Orion,Hi Ferdi

Das ist wirklich sehr schön und zeigt,wofür und wozu man scheinbar abstrakte Dinge darbietet und lernt.
Meine Lösung geht übrigens genauu so.
Im Zentrum steht die Tatasach,dass eine Matrix,die nach Zeilen orthogonal ist,auch
nach Kolonnen orthogonal ist.
Die Matrizenrechnung bietet auch Gewähr,dass
die Aussage von der Dimensionszahl unabhängig ist

Besten Dank Orion
Freundliche Grüsse
H.R.moser,megamath

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