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Eigenwert und Eigenvektoren von f

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Avatar82 (Avatar82)
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Neues Mitglied
Benutzername: Avatar82

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 16:57:   Beitrag drucken

Moin!

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir bei der Aufgabe geholfen werden könnte.

Es seien V ein K-Vektorraum über dem kommutativen Körper K und f € Hom(V,V).

Ich soll nun zeigen, wenn k € K ein Eigenwert von f, dann ist U(k) := {X Element V | f(X) = kX} ein Teilraum von V und sind X1,...,Xm Eigenvektoren von f zu den Eigenwerten a1,...,am wobei a1,...,am paarweise verschieden sind, so sind X1,...,Xm linear unabhängig.

Ich kann mit der Aufgabe leider garnichts anfangen.
Vielen Dank!
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 754
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 19:09:   Beitrag drucken

Avatar,

Weil f ein Homomorphismus ist, gilt

f(X) = kX & f(Y) = kY => f(aX+bY) = af(X)+bf(Y)

= a*kX + b*k Y = k(aX + bY), a,b € K.

Daher :

X,Y € U(k) => aX+bY € U(k) für alle a,b € K , d.h.:

U(k) ist Teilraum von V.

Die 2. Aussage beweisen wir durch Induktion bzgl. m,
m >= 2.

Sei m=2:

Annahme: c1X1 + c2X2 = O

Wenden wir auf diese Gleichung f an, so folgt

c1a1X1 + c2a2X2 = O.

Aus diesen beiden Gleichungen folgt

c1(a2-a1)X1 = O => c1 = 0 => c2=0,

d.h. X1,X2 sind linear unabhängig.

Induktionsannahme: Die Aussage sei für m-1
Eigenvektoren schon gesichert, m >= 3.

Annahme:

(1) Sm k=1 ckXk = O.

Wir wenden wieder f an :

(2) Sm k=1 ckakXk = O.

Wir subtrahieren von (2) das am - fache von (1):

(3) Sm-1 k=1 ck(ak-am)Xk = O.

Aus der Ind.-Annahme, und weil die ak paarweise
verschieden sind, folgt c1 = ... = cm = 0.






mfG Orion

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