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Avatar82 (Avatar82)
Neues Mitglied Benutzername: Avatar82
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 01-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 16:57: |
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Moin! Ich wäre sehr dankbar, wenn mir bei der Aufgabe geholfen werden könnte. Es seien V ein K-Vektorraum über dem kommutativen Körper K und f € Hom(V,V). Ich soll nun zeigen, wenn k € K ein Eigenwert von f, dann ist U(k) := {X Element V | f(X) = kX} ein Teilraum von V und sind X1,...,Xm Eigenvektoren von f zu den Eigenwerten a1,...,am wobei a1,...,am paarweise verschieden sind, so sind X1,...,Xm linear unabhängig. Ich kann mit der Aufgabe leider garnichts anfangen. Vielen Dank!
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 754 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 19:09: |
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Avatar, Weil f ein Homomorphismus ist, gilt f(X) = kX & f(Y) = kY => f(aX+bY) = af(X)+bf(Y) = a*kX + b*k Y = k(aX + bY), a,b € K. Daher : X,Y € U(k) => aX+bY € U(k) für alle a,b € K , d.h.: U(k) ist Teilraum von V. Die 2. Aussage beweisen wir durch Induktion bzgl. m, m >= 2. Sei m=2: Annahme: c1X1 + c2X2 = O Wenden wir auf diese Gleichung f an, so folgt c1a1X1 + c2a2X2 = O. Aus diesen beiden Gleichungen folgt c1(a2-a1)X1 = O => c1 = 0 => c2=0, d.h. X1,X2 sind linear unabhängig. Induktionsannahme: Die Aussage sei für m-1 Eigenvektoren schon gesichert, m >= 3. Annahme: (1) Sm k=1 ckXk = O. Wir wenden wieder f an : (2) Sm k=1 ckakXk = O. Wir subtrahieren von (2) das am - fache von (1): (3) Sm-1 k=1 ck(ak-am)Xk = O. Aus der Ind.-Annahme, und weil die ak paarweise verschieden sind, folgt c1 = ... = cm = 0. mfG Orion
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