Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 162 : Ellipsoid II

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 162 : Ellipsoid II « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3302
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 14:41:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 162 spielt wiederum ein Ellipsoid
die Hauptrolle.
Gegeben sind das Ellipsoid
x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 = 6 und die Ebene
x + y + z = 0.
In allen gemeinsamen Punkten der Ebene und des
Ellipsoids werden die Flächennormalen des Ellipsoids errichtet.
Man beweise, dass die Schnittpunkte dieser Normalen
mit der (x,y) - Ebene auf der gedrehten Ellipse
mit der Gleichung
3 x^2 + 9 x y + 15 y^2 = 2
liegen.

PS
Wegen eines Familienanlasses bin ich erst morgen wieder für
M-Angelegenheiten ansprechbar.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1034
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 20:05:   Beitrag drucken

Hi megamath,

Sei S (u/v/w) ein beliebiger Schnittpunkt der Ebene und des Ellipsoids, dann erfüllt er beide Gleichungen!

I) u^2 + 2v^2 + 3w^2 = 6
II) u + v + w = 0

Ebenfalls liegt der Punkt auf der Flächennormalen, dies ist eine Gerade durch P mit dem Gradienten des Ellipsoids in P als Richtungsvektor:

x = u + r * u
y = v + r * 2v
z = w + r * 3w

Von dieser Geraden suchen wir den Schnittpunkt M mit der Ebene z = 0 , also r = -(1/3)!

==> M ( [2/3]u / [1/3]v / 0 )

Also x = 2/3 u (III) , und y = 1/3 v (IV) !

Durchläuft P nun alle Schnittpunkte erhält man für M die Ortskurve in der xy-Ebene, dazu müssen wir nur noch aus I)-IV) u,v,w eliminieren!

Aus I) und II) erhalten wir:

4u^2 + 6uv + 5v^2 = 6

Aus III) und IV)

u = 3/2 x und v = 3y

Also insgesamt:

9x^2 + 27xy + 45y^2 = 6

oder

3x^2 + 9xy + 15y^2 = 2

q.e.d.

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3304
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 08:54:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Besten Dank für Deine Lösung.
Genau so lautet auch meine eigene Lösung.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page