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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3302 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 14:41: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 162 spielt wiederum ein Ellipsoid die Hauptrolle. Gegeben sind das Ellipsoid x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 = 6 und die Ebene x + y + z = 0. In allen gemeinsamen Punkten der Ebene und des Ellipsoids werden die Flächennormalen des Ellipsoids errichtet. Man beweise, dass die Schnittpunkte dieser Normalen mit der (x,y) - Ebene auf der gedrehten Ellipse mit der Gleichung 3 x^2 + 9 x y + 15 y^2 = 2 liegen. PS Wegen eines Familienanlasses bin ich erst morgen wieder für M-Angelegenheiten ansprechbar. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1034 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 20:05: |
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Hi megamath, Sei S (u/v/w) ein beliebiger Schnittpunkt der Ebene und des Ellipsoids, dann erfüllt er beide Gleichungen! I) u^2 + 2v^2 + 3w^2 = 6 II) u + v + w = 0 Ebenfalls liegt der Punkt auf der Flächennormalen, dies ist eine Gerade durch P mit dem Gradienten des Ellipsoids in P als Richtungsvektor: x = u + r * u y = v + r * 2v z = w + r * 3w Von dieser Geraden suchen wir den Schnittpunkt M mit der Ebene z = 0 , also r = -(1/3)! ==> M ( [2/3]u / [1/3]v / 0 ) Also x = 2/3 u (III) , und y = 1/3 v (IV) ! Durchläuft P nun alle Schnittpunkte erhält man für M die Ortskurve in der xy-Ebene, dazu müssen wir nur noch aus I)-IV) u,v,w eliminieren! Aus I) und II) erhalten wir: 4u^2 + 6uv + 5v^2 = 6 Aus III) und IV) u = 3/2 x und v = 3y Also insgesamt: 9x^2 + 27xy + 45y^2 = 6 oder 3x^2 + 9xy + 15y^2 = 2 q.e.d. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3304 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 08:54: |
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Hi Ferdi Besten Dank für Deine Lösung. Genau so lautet auch meine eigene Lösung. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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