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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3299
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 08:34: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 161 spielt ein Ellipsoid die Hauptrolle.
Gegeben sind das Ellipsoid x^2 / 3 + y^2 / 2 + z ^ 2 = 1
und der Zylinder 16 x^2 + 9 y^2 = 54.
In allen Schnittpunkten dieser Flächen werden die
Flächennormalen des Ellipsoids errichtet.
Man beweise, dass die Schnittpunkte dieser Normalen
mit der (x,y)-Ebene auf einem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt
und Radius zu bestimmen ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1035
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 21:00: |
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Hi megamath,
diese Aufgabe ist schwieriger als LF 161!
Ist M ( 0 / 0 ) und r = sqrt(3/2) ??
mfg |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 22:08: |
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Hallo Ferdi,
genau dasselbe Ergebnis habe ich auch. Ich überlasse dir die ehrenvolle Aufgabe, die Lösung ins Forum zu stellen.
Viele Grüße
Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3303
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 08:48: |
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Hi Ferdi,Hi Michael
Wunderbar! Das Resultat ist o.k.
Bald gibt es neue Aufgaben!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3307
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 14:46: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 161
Ellipsoidgleichung:
F(x,y,z) = 2 x^2 + 3 y ^2 + 6 z^2 – 6 = 0
Mittels Gradient:
V= grad(F) ={4x;6y;12z}= 2{2x;3y;6z}
Normale n im Punkt Po(xo/yo/zo) der Fläche
In Parameterform mit t als Parameter:
x = xo + 2txo = xo(1+2t)
y = yo + 3tyo = yo(1+3t)
z = zo + 6 tzo = zo(1+6t)
Schnitt mit der Ebene z = 0 ergibt den Parameterwert t = -1/6.
Der Schnittpunkt S(x°/y°/0) von n mit z= 0 hat somit die
Koordinaten
x° = 2/3 xo, y° = ½ yo, nach xo , y0 aufgelöst:
xo = 3/2 x°, yo = 2 y°
Dies setzen wir in die Zylindergleichung ein und erhalten:
16* 9/4 * x° ^2 + 9 * 4 * y° ^2 = 54, vereinfacht:
x° ^2 + y° ^2 = 3/2
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Kreis M(0/0), r = sqrt(3/2) in der (x,y)-Ebene
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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