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Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:51: | 
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Moin und frohes neues Jahr,
ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Vielleicht findet ja trotz des wunderbaren Wetters jemand Zeit mir zu helfen:
Sei L ein Körper, K ein Teilkörper und V ein L-Raum der Dimension ungleich 1. Die Dimension von V als K-Raum sei 2003. Zeige, dass K=L ist.
Danke schonmal im Vorraus.
DULL |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 967
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:34: |
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Hi!
Ich habe da nicht unbedingt die Lösung, aber mir ist aufgefallen, dass 2003 eine Primzahl ist!
Also gibt es nur die triviale Primfaktorzerlegung:
2003 = 2003.
Angenommen, K ist eine echte Teilmenge von L. Dann müsste V als L-Raum eine niedrigere Dimension aufweisen als als K-Raum. Beide Dimensionen müssten aber gemeinsame Primfaktoren haben. Da aber K nur diese eine triviale Zerlegung besitzt, müssen beide Dimensionen gleich, also auch L = K sein, damit die obige Bedingung mit den Primteilern erfüllt ist.
Jetzt musst du nur noch schauen, ob das auch plausibel ist, weil ich es mir aus den Fingern gesogen habe .
Aber vielleicht bringt es dir zumindest einen Ansatz.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:59: |
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Hi Martin,
danke für deine Antwort. Sie ist wirklich schön und elegant. Kannts du mir vielleicht noch kurz einen Dankanstoß geben, warum die beiden Dimensionen gemeinsame Primfaktoren haben müssten?
Dake, DULL |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 970
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 14:20: |
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Hi!
Ich habe es mir folgendermaßen überlegt:
l = dimL V
k = dimK V
Dann gilt:
dimL Vk = dimK Vl
Und wegen dim Vm = m * dim V:
k * l = l * k
Das ist natürlich trivial. Aber falls k keine Primzahl ist, dann gibt es kleinste positive ganze Zahlen p, q, so dass gilt:
p * l = q * k
Also:
dimL Vp = dimK Vq
Da aber in der Gleichung p * l = q * k in unserem Fall l£k gilt und k Primzahl ist, kann l nur 1 oder 2003 sein. Da wir aber l=1 von vornherein ausgeschlossen haben, muss gelten:
k = l, also:
dimK V = dimL V.
Da außerdem K ein Teilkörper von L ist, muss wegen der gleichen Dimensionen von V gelten:
K = L.
Das war vielleicht etwas konfus, aber wie gesagt: Ich kann das gar nicht...
MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 748
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:39: |
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Hallo,
Hinweis:
Sei dimLV = n , dimKV = m , [K:L] = r.
Ist {u1,...,un} eine Basis von V bzgl. L ,
und {w1,...,wr) eine Basis von
L bzgl. K, so bilden die nr Vektoren
vij = wjui eine Basis von V bzgl. K.
Also ist dimK V = nr.
mfG Orion
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