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Teilkörper für Vektorraum

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Dull (Dull)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:51:   Beitrag drucken

Moin und frohes neues Jahr,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Vielleicht findet ja trotz des wunderbaren Wetters jemand Zeit mir zu helfen:
Sei L ein Körper, K ein Teilkörper und V ein L-Raum der Dimension ungleich 1. Die Dimension von V als K-Raum sei 2003. Zeige, dass K=L ist.
Danke schonmal im Vorraus.
DULL
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 967
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:34:   Beitrag drucken

Hi!

Ich habe da nicht unbedingt die Lösung, aber mir ist aufgefallen, dass 2003 eine Primzahl ist!
Also gibt es nur die triviale Primfaktorzerlegung:
2003 = 2003.

Angenommen, K ist eine echte Teilmenge von L. Dann müsste V als L-Raum eine niedrigere Dimension aufweisen als als K-Raum. Beide Dimensionen müssten aber gemeinsame Primfaktoren haben. Da aber K nur diese eine triviale Zerlegung besitzt, müssen beide Dimensionen gleich, also auch L = K sein, damit die obige Bedingung mit den Primteilern erfüllt ist.

Jetzt musst du nur noch schauen, ob das auch plausibel ist, weil ich es mir aus den Fingern gesogen habe.
Aber vielleicht bringt es dir zumindest einen Ansatz.


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
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Dull (Dull)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:59:   Beitrag drucken

Hi Martin,

danke für deine Antwort. Sie ist wirklich schön und elegant. Kannts du mir vielleicht noch kurz einen Dankanstoß geben, warum die beiden Dimensionen gemeinsame Primfaktoren haben müssten?

Dake, DULL
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 970
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 14:20:   Beitrag drucken

Hi!

Ich habe es mir folgendermaßen überlegt:

l = dimL V
k = dimK V

Dann gilt:
dimL Vk = dimK Vl

Und wegen dim Vm = m * dim V:
k * l = l * k

Das ist natürlich trivial. Aber falls k keine Primzahl ist, dann gibt es kleinste positive ganze Zahlen p, q, so dass gilt:
p * l = q * k

Also:
dimL Vp = dimK Vq


Da aber in der Gleichung p * l = q * k in unserem Fall l£k gilt und k Primzahl ist, kann l nur 1 oder 2003 sein. Da wir aber l=1 von vornherein ausgeschlossen haben, muss gelten:
k = l, also:
dimK V = dimL V.

Da außerdem K ein Teilkörper von L ist, muss wegen der gleichen Dimensionen von V gelten:
K = L.


Das war vielleicht etwas konfus, aber wie gesagt: Ich kann das gar nicht...


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
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Galileo Galilei
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 748
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:39:   Beitrag drucken

Hallo,

Hinweis:

Sei dimLV = n , dimKV = m , [K:L] = r.

Ist {u1,...,un} eine Basis von V bzgl. L ,
und {w1,...,wr) eine Basis von
L bzgl. K, so bilden die nr Vektoren
vij = wjui eine Basis von V bzgl. K.
Also ist dimK V = nr.
mfG Orion

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