| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3288
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 12:00: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 158 lautet:
Es sind die Punkte A(4/0/0), B(2/0/0)
und die Gerade g durch
die Punkte P(0/1/1) und B(0/2/2) gegeben.
Es sind Kugeln gesucht, welche durch A und B
gehen und g berühren.
Man weise nach, dass die Mittelpunkte
aller Kugeln, die diesen Bedingungen genügen,
auf einem Parallelgeradenpaar liegen.
Welches sind die Daten dieser Geraden?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 850
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 12:45: |
|
Hi MM!
Prosit Neujahr!
Ich erhalte (wegen der besonderen Angabe) nach kurzer Rechnung für den Mittelpunkt M(u|v|w) der Kugel:
u = 3; und
v + w = 4 oder v + w = -4
Das ist das in der (Symmetrie-)ebene x = 3 liegende gegenständliche Geradenpaar!
Wenn es richtig ist, kann ich die Rechnung nachreichen.
Gr
mYthos
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3289
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 15:11: |
|
Hi mYthos,
Ich habe dasselbe Resultat,und wir gratulieren uns gegenseitig...........
Meine besten Neujahrswünsche zu Dir nach Wien !
Es könnte für Interessenten nützlich sein,eine Herleitung zu sehen.
MfG
Hans Rudolf |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1027
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 16:26: |
|
Hallo allerseits,
mich würde eine Herleitung interessieren. Ich bin mit dieser Aufgabe bis jetzt auf keinen Grünen Zweig gekommen!
mfg |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 851
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 19:38: |
|
Hallo, zunächst Prosit Neujahr!
Nun denn:
Der Mittelpunkt M(u|v|w) der Kugel muss zunächst in der Symmetrieebene S von AB liegen, diese lautet [Normalvektor AB, Mittelpunkt von AB ist M1(3|0|0)]
S: (1;0;0)*X = 3
daraus folgt (zwingend): u = 3; M = M(3|v|w)
Die Gleichung der Tangente ist
t: X = (0;1;1) + t*(0;1;1)
Durch den noch nicht bekannten M legen wir nun die Normalebene Nt zu t, diese schneidet t im Berührungspunkt T.
Der Richtungsvektor (0;1;1) der Geraden ist Normalvektor dieser Ebene, die Konstante erhalten wir durch Einsetzen von M:
Nt: (0;1;1)*X = v + w
Nun wird Nt mit der Tangente t geschnitten,
x = 0
y = 1 + t
z = 1 + t
-----------
2 + 2t = v + w
-> t = (v + w - 2)/2
-> T(0| (v+w)/2 | (v+w)/2 )
Nun verwenden wir die Tatsache, dass der Radius r = BM und gleichzeitig auch TM ist:
Vect(BM) = (1;v;w)
Vect(TM) = (3; (v-w)/2; (w-v)/2)
r² = 1 + v² + w²
r² = 9 + (v - w)²/4 + (w - v)²/4
---------------------------------
[gleichsetzen]
8 + (w - v)²/2 = 1 + v² + w²
16 + w² + 2vw + v² = 2w² + 2v²
w² + v² + 2wv = 16
(w + v)² = 16
-> w + v = 4 ODER w + v = -4
Gesamtlösung:
u = 3
w + v = 4 ODER w + v = -4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Durch diese Lösung für den Mittelpunkt M der Kugeln werden zwei parallele und in der Ebene x = 3 liegende Geraden bezeichnet!
Für den Radius gilt in jedem Fall
r² = 1 + v² + w²
wobei die o.a. Beziehungen zwischen v und w mit einfliessen müssen.
Gr
mYthos
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 852
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 21:43: |
|
Schreibfehler:
nach
...
---------------------------------
[gleichsetzen]
gehört statt
8 + (w - v)²/2 = 1 + v² + w²
-> 8 + (w - v)²/2 = v² + w²
danach stimmt es wieder ..
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 21:54: |
|
Hi mythos,
besten Dank für deine Lösung! Jetzt ist mir einiges klarer geworden!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3297
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 08:16: |
|
Hi mythos
Ich möchte nachdoppeln:
Besten Dank für Deine Bemühungen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3301
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 12:22: |
|
Hi allerseits,
Da meine Lösungsmethode von der bereits durch Mythos
präsentierten Lösung abweicht, möchte ich sie hier
ebenfalls vorführen.
Gleichzeitig kann ich die Intentionen des Aufgabenstellers zeigen.
Das geht so: Ansatz für die gesuchte Kugelgleichung:
x^2 + y^2 + z^2 + 2 A x + 2 B y + 2 C z + D = 0
die Kugel geht durch (4/0/0) und (2/0/0) daher:
16 + 8 A + D = 0
4 + 4A + D = 0
Daraus A = - 3 , D = 8.
Die Gleichung der Kugel lautet nun:
x^2 + y^2 + z^2 – 6 x + 2 B y + 2 C z + 8 = 0
Die Gleichung der Tangente t lautet in Parameterform:
x = 0, y = 1 + t , z = 1 + t, eingesetzt in die letzte
Form der Kugelgleichung gibt mit 1 + t = tau:
(tau)^2 + (B+C) tau + 4 = 0
Wir fordern eine Doppellösung für tau;
setze die Diskriminante null!
Dies ergibt:
(B+C)^2 = 16
also B+C = 4 einerseits , B+C = - 4 andrerseits.
Sei u die x-Koordinate , v die y–Koordinate, w die z-Koordinate
des Mittelpunktes M.
Da B mit - v , C mit -w übereinstimmt, sind wir bereits am Ziel;
a priori gilt u = 3.
Somit:
u + v = (+-)4, u = 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
