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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3229
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 11:45: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 142 sollen Kugeln ermittelt werden.
Gegeben sind die Geraden g und h durch Parameterdarstellungen:
g: x = 2 s , y = s , z = 2 s ; Parameter s
h: x = t , y = 2 t , z = t ; Parameter t
Man ermittle die Gleichungen aller Kugeln mit Radius r = 6,
deren Mittelpunkte auf h liegen und welche g berühren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 958
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 13:04: |
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Hi!
Erstmal eine kleine Vorüberlegung:
Wenn die beiden Geraden nicht parallel sind (wie in diesem Fall), dann dürfte es genau zwei solcher Kugeln geben. Da das beides außerdem Urpsrungsgeraden sind, müssten die Mittelpunkte der beiden Kugeln punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
Mal schauen...
g: x = (2s, s, 2s)
h: x = (t, 2t, t)
Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1. Der Radius einer solchen Kugel muss senkrecht auf der Tangente g stehen.
[(2s, s, 2s) - (t, 2t, t)] * (2, 1, 2) = (2s-t, s-2t, 2s-t) * (2, 1, 2)
= 4s-2t+s-2t+4s-2t
!= 0
<=> s = 2t/3
2. Der Berührpunkt der Tangente mit der Kugel muss der Kugelgleichung genügen:
[(2s, s, 2s) - (t, 2t, t)]² =(s.o.) [(4t/3, 2t/3, 4t/3) - (t, 2t, t)]²
= (t/3, -4t/3, t/3)²
= t²/9 * (1 + 16 + 1)
= 2t²
!= 36
<=> t = 3Ö3 und s = 2Ö3
oder
t = -3Ö3 und s = -2Ö3
Den Parameter t muss man nur noch in die Kugelgleichung einsetzen:
K: [(x, y, z) - (t, 2t, t)]² = 36
Man kann das natürlich auch ausrechnen und erhält:
K: x² + y² + z² ±6Ö3(x + 2y + z) + 126 = 0
... oder wie auch immer man das darstellen möchte.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3231
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 14:40: |
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Hi Martin
Besten Dank für Deine Lösung. Du hast die Idee der Symmetrie
gut ausgenützt, bravo!
An einer gewissen Stelle hat sich ein Fehlerchen eingeschlichen.
Aus t^2 = 18 folgt t = (+-) 3 sqrt(2) (wie in meinen eigenen Notizen),
nicht 3*sqrt(3).
Weitere Bemerkungen zum Inhalt der Aufgabe folgen später.
Durch Deine schnelle Lösung hast Du folgendes erreicht.
Ganz schnell muss ich nun die Aufgabe LF 143 bereit stellen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 17:33: |
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Ach ja, natürlich!
Dann muss es ja heißen:
K: x² + y² + z² ±6Ö2*(x + 2y + z) + 72 = 0
Danke für den Hinweis!
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3233
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 19:26: |
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Hi allerseits
Zur Lösung der Aufgabe LF 142.
Die Ortsfläche der Mittelpunkte aller Kugeln vom Radius r = 6,
welche die Gerade g mit der Parameterdarstellung
x = 2 s , y = s , z = 2 s ; Parameter s
berühren, ist eine Rotationszylinderfläche, Achse g , Radius 6.
Die Koordinatengleichung dieses Zylinders lautet:
5 x^2 + 8 y^2 + 5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z – 324 = 0
Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe durchstossen wir
diese Zylinderfläche mit der Geraden h, die in Parameterform
vorliegt :
x = t , y = 2 t , z = t ; Parameter t,
indem wir diese Koordinaten der Reihe nach in die
Zylindergleichung einsetzen.
Wir erhalten die Gleichung für t:
18 t^2 = 324 ; t^2 = 18, usw.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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