Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 142 : Kugeln bestimmen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 142 : Kugeln bestimmen « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3229
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 11:45:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 142 sollen Kugeln ermittelt werden.

Gegeben sind die Geraden g und h durch Parameterdarstellungen:
g: x = 2 s , y = s , z = 2 s ; Parameter s
h: x = t , y = 2 t , z = t ; Parameter t

Man ermittle die Gleichungen aller Kugeln mit Radius r = 6,
deren Mittelpunkte auf h liegen und welche g berühren.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Martin243 (Martin243)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 958
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 13:04:   Beitrag drucken

Hi!

Erstmal eine kleine Vorüberlegung:
Wenn die beiden Geraden nicht parallel sind (wie in diesem Fall), dann dürfte es genau zwei solcher Kugeln geben. Da das beides außerdem Urpsrungsgeraden sind, müssten die Mittelpunkte der beiden Kugeln punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
Mal schauen...

g: x = (2s, s, 2s)
h: x = (t, 2t, t)

Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1. Der Radius einer solchen Kugel muss senkrecht auf der Tangente g stehen.

[(2s, s, 2s) - (t, 2t, t)] * (2, 1, 2) = (2s-t, s-2t, 2s-t) * (2, 1, 2)
= 4s-2t+s-2t+4s-2t
!= 0

<=> s = 2t/3


2. Der Berührpunkt der Tangente mit der Kugel muss der Kugelgleichung genügen:

[(2s, s, 2s) - (t, 2t, t)]² =(s.o.) [(4t/3, 2t/3, 4t/3) - (t, 2t, t)]²
= (t/3, -4t/3, t/3)²
= t²/9 * (1 + 16 + 1)
= 2t²
!= 36

<=> t = 3Ö3 und s = 2Ö3
oder
t = -3Ö3 und s = -2Ö3


Den Parameter t muss man nur noch in die Kugelgleichung einsetzen:
K: [(x, y, z) - (t, 2t, t)]² = 36


Man kann das natürlich auch ausrechnen und erhält:
K: x² + y² + z² ±6Ö3(x + 2y + z) + 126 = 0

... oder wie auch immer man das darstellen möchte.


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3231
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 14:40:   Beitrag drucken

Hi Martin

Besten Dank für Deine Lösung. Du hast die Idee der Symmetrie
gut ausgenützt, bravo!

An einer gewissen Stelle hat sich ein Fehlerchen eingeschlichen.
Aus t^2 = 18 folgt t = (+-) 3 sqrt(2) (wie in meinen eigenen Notizen),
nicht 3*sqrt(3).

Weitere Bemerkungen zum Inhalt der Aufgabe folgen später.

Durch Deine schnelle Lösung hast Du folgendes erreicht.
Ganz schnell muss ich nun die Aufgabe LF 143 bereit stellen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Martin243 (Martin243)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 17:33:   Beitrag drucken

Ach ja, natürlich!

Dann muss es ja heißen:
K: x² + y² + z² ±6Ö2*(x + 2y + z) + 72 = 0


Danke für den Hinweis!


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3233
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2003 - 19:26:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Zur Lösung der Aufgabe LF 142.

Die Ortsfläche der Mittelpunkte aller Kugeln vom Radius r = 6,
welche die Gerade g mit der Parameterdarstellung
x = 2 s , y = s , z = 2 s ; Parameter s
berühren, ist eine Rotationszylinderfläche, Achse g , Radius 6.
Die Koordinatengleichung dieses Zylinders lautet:
5 x^2 + 8 y^2 + 5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z – 324 = 0

Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe durchstossen wir
diese Zylinderfläche mit der Geraden h, die in Parameterform
vorliegt :
x = t , y = 2 t , z = t ; Parameter t,
indem wir diese Koordinaten der Reihe nach in die
Zylindergleichung einsetzen.

Wir erhalten die Gleichung für t:
18 t^2 = 324 ; t^2 = 18, usw.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page