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Lockere Folge 134: Wegunterschied auf...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3188
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Schon wieder erscheint eine Aufgabe aus der Sphärik, hihi.
Die Aufgabe LF 134 lautet so:

Auf der Erdkugel (Radius R = 6370 km) liegen
die Orte A und B auf demselben Parallelkreis der (nördlichen) Breite v;
die Differenz ihrer geographische Längen sei delta lambda = u.
0 < u < Pi, 0 < v < ½ Pi.

L1 ist die Länge des Verbindungsbogens von A nach B, der ganz auf dem
Parallelkreis durch A verläuft, L2 die Länge des kürzeren der beiden
Grosskreisbögen von A nach B.
Man berechne die Differenz D = L1 – L2, ausgedrückt durch R, u und v.

Zusatzaufgabe:
Sei u = Pi.
Für welche geographische Breite v ist D = D(v) maximal?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Kläusle (Kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 09:26:   Beitrag drucken

Hi

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe:

Radius R' des Parallelkreises durch A und B:
R' = R*sin(0,5p - v)

Länge des "großen" Bogens:
L1 = 2pR' * [(2p - u) / 2p]

Länge des "kleinen" Bogens:
L2 = 2pR' * [u / 2p]

Differenz
D = L1 - L2 = ... = 2R' * (p-u)

insgesamt:
D = 2(p-u)R*sin(0,5p-v)

Stimmt das so?



MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3190
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 13:01:   Beitrag drucken

Hi Klaus



Die Aufgabe ist nicht so ganz einfach!

Zur Lösung des ersten Teils geht es also darum,
die beiden Bogenlängen L1 und L2 zu ermitteln.
Sie sollen durch die (gemeinsame) geographische Breite v
der beiden Erdorte und ihre Längendifferenz u ausgedrückt
werden.

Dies gelingt, wenn wir die Zentriwinkel x und y (je im Bogenmaß)
der Kreisbögen B1 und B2 bestimmen.
Dabei ist B1 der Parallelkreisbogen, Kreisradius r = R * cos v.
B2 ist der durch die Punkte A und B bestimmte Großkreis,
Kreisradius R.
Der Winkel x stimmt mit der Längendifferenz u überein, aber
y muss mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie (siehe unten)
berechnet werden.
Es gilt dann:
L1 = r * x = R u cos v
L2 = R * y

Hinweis zur Berechnung von y:
Der Nordpol N und die beiden Erdorte A und B bilden ein
Gleichschenkliges sphärisches Dreieck, das durch die Seiten
NA = w und NB = w
und den Zwischenwinkel, den Innenwinkel u bei N,
bestimmt ist.
w ist die so genannte Polhöhe der Punkte A und B,
der Komplementärwinkel der Breite v;
es gilt w = (½Pi – v).
y ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite, welche mit
dem Seitenkosinussatz so berechnet wird:
cos y = cos w cos w + sin w sin w * cos u, also
cos y = (sin v)^2 + (cos v) ^2 * cos u.

Es ist zweckmäßig, durch goniometrische Umformungen
halbe Winkel ½ y und ½ u einzuführen; davon später.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3191
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 13:51:   Beitrag drucken

Hi Klaus,

Es geht jetzt darum, den Term zur Berechnung des Zentriwinkels y
zu frisieren.

Wir werden zweimal von der Formel
2 (sin ½t)^2 = 1 – cos t
Gebrauch machen.

Aus der Formel cos y = (sin v)^2 + (cos v) ^2 * cos u
meiner letzten Arbeit wird zunächst
2 (sin ½y)^2 = 1- cos y = 1 - (sin v)^2 - (cos v) ^2 * cos u
= (cos v ) ^2 - (cos v) ^2 * cos u = (cos v) ^2 * [1 – cos u].

Wir wenden die Halbwinkelformel nochmals an und erhalten:
2 (sin ½y)^2 = (cos v) ^2 * 2 (sin ½u)^2, vereinfacht:
sin (½y) = cos v * sin(½ u) , schließlich
y = 2 arc sin [cos v * sin(½ u)]

Nun erhalten wir sofort L2:
L2 = 2 arc sin [cos v * sin(½ u)]

Die gesuchte Differenz lässt sich somit so darstellen:
D = L1 - L2 = R {u cos v - 2 arc sin [cos v*sin (½ u)]}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3192
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:15:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Betr.Zusatzaufgabe

als Lösungskontrolle diene die Bemerkung:
die gesuchte geographische Breite v = v* ist ungefähr
diejenige von MADRID !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Kläusle (Kläusle)
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Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:35:   Beitrag drucken

Hi

da habe ich mir die Aufgabe wohl ein bisschen zu leicht gemacht...

Aber nun es ist mir auch klar, was genau gemeint war.


MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3193
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:55:   Beitrag drucken

Hi Klaus


Gut so !
Setze nun u = Pi und leite D nach v ab!
Setze die Ableitung null und löse nach v auf
Es ist nicht nötig,die zweite Ableitung zu ermitteln.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Nummer des Beitrags: 494
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 18:42:   Beitrag drucken

Hi


v = arccos { Wurzel[(pi2 - 4)/pi2]}
v ~ 39,54°


MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3196
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 19:28:   Beitrag drucken

Hi Klaus

Ein mega -Bravo !


MfG
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Nummer des Beitrags: 495
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 20:21:   Beitrag drucken

Hi Megamath


Danke für die Blumen
Aber mal nicht gleich übertreiben
So schwierig war der Aufgabenteil ja nicht mehr.




MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3197
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 22:19:   Beitrag drucken

Hi Klaus,

Ich werde die Schrauben schon bald wieder etwas anziehen!
Trotzdem die Aufgabe nicht mehr schwierig
erschien,war ich begeîstert,dass unsere Resultate so schön übereinstimmen.
Auch die Bemerkung in Bezug auf Madrid scheint richtig zu sein !

MfG
H.R.Moser,megamath

MfG
H.R.Moser,megamath

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