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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3188 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 20:04: |
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Hi allerseits Schon wieder erscheint eine Aufgabe aus der Sphärik, hihi. Die Aufgabe LF 134 lautet so: Auf der Erdkugel (Radius R = 6370 km) liegen die Orte A und B auf demselben Parallelkreis der (nördlichen) Breite v; die Differenz ihrer geographische Längen sei delta lambda = u. 0 < u < Pi, 0 < v < ½ Pi. L1 ist die Länge des Verbindungsbogens von A nach B, der ganz auf dem Parallelkreis durch A verläuft, L2 die Länge des kürzeren der beiden Grosskreisbögen von A nach B. Man berechne die Differenz D = L1 – L2, ausgedrückt durch R, u und v. Zusatzaufgabe: Sei u = Pi. Für welche geographische Breite v ist D = D(v) maximal? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 492 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 09:26: |
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Hi Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe: Radius R' des Parallelkreises durch A und B: R' = R*sin(0,5p - v) Länge des "großen" Bogens: L1 = 2pR' * [(2p - u) / 2p] Länge des "kleinen" Bogens: L2 = 2pR' * [u / 2p] Differenz D = L1 - L2 = ... = 2R' * (p-u) insgesamt: D = 2(p-u)R*sin(0,5p-v) Stimmt das so?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3190 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 13:01: |
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Hi Klaus Die Aufgabe ist nicht so ganz einfach! Zur Lösung des ersten Teils geht es also darum, die beiden Bogenlängen L1 und L2 zu ermitteln. Sie sollen durch die (gemeinsame) geographische Breite v der beiden Erdorte und ihre Längendifferenz u ausgedrückt werden. Dies gelingt, wenn wir die Zentriwinkel x und y (je im Bogenmaß) der Kreisbögen B1 und B2 bestimmen. Dabei ist B1 der Parallelkreisbogen, Kreisradius r = R * cos v. B2 ist der durch die Punkte A und B bestimmte Großkreis, Kreisradius R. Der Winkel x stimmt mit der Längendifferenz u überein, aber y muss mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie (siehe unten) berechnet werden. Es gilt dann: L1 = r * x = R u cos v L2 = R * y Hinweis zur Berechnung von y: Der Nordpol N und die beiden Erdorte A und B bilden ein Gleichschenkliges sphärisches Dreieck, das durch die Seiten NA = w und NB = w und den Zwischenwinkel, den Innenwinkel u bei N, bestimmt ist. w ist die so genannte Polhöhe der Punkte A und B, der Komplementärwinkel der Breite v; es gilt w = (½Pi – v). y ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite, welche mit dem Seitenkosinussatz so berechnet wird: cos y = cos w cos w + sin w sin w * cos u, also cos y = (sin v)^2 + (cos v) ^2 * cos u. Es ist zweckmäßig, durch goniometrische Umformungen halbe Winkel ½ y und ½ u einzuführen; davon später. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3191 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 13:51: |
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Hi Klaus, Es geht jetzt darum, den Term zur Berechnung des Zentriwinkels y zu frisieren. Wir werden zweimal von der Formel 2 (sin ½t)^2 = 1 – cos t Gebrauch machen. Aus der Formel cos y = (sin v)^2 + (cos v) ^2 * cos u meiner letzten Arbeit wird zunächst 2 (sin ½y)^2 = 1- cos y = 1 - (sin v)^2 - (cos v) ^2 * cos u = (cos v ) ^2 - (cos v) ^2 * cos u = (cos v) ^2 * [1 – cos u]. Wir wenden die Halbwinkelformel nochmals an und erhalten: 2 (sin ½y)^2 = (cos v) ^2 * 2 (sin ½u)^2, vereinfacht: sin (½y) = cos v * sin(½ u) , schließlich y = 2 arc sin [cos v * sin(½ u)] Nun erhalten wir sofort L2: L2 = 2 arc sin [cos v * sin(½ u)] Die gesuchte Differenz lässt sich somit so darstellen: D = L1 - L2 = R {u cos v - 2 arc sin [cos v*sin (½ u)]} °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3192 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:15: |
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Hi allerseits Betr.Zusatzaufgabe als Lösungskontrolle diene die Bemerkung: die gesuchte geographische Breite v = v* ist ungefähr diejenige von MADRID ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 493 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:35: |
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Hi da habe ich mir die Aufgabe wohl ein bisschen zu leicht gemacht... Aber nun es ist mir auch klar, was genau gemeint war.
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3193 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 15:55: |
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Hi Klaus Gut so ! Setze nun u = Pi und leite D nach v ab! Setze die Ableitung null und löse nach v auf Es ist nicht nötig,die zweite Ableitung zu ermitteln. MfG H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 494 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 18:42: |
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Hi v = arccos { Wurzel[(pi2 - 4)/pi2]} v ~ 39,54°
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3196 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 19:28: |
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Hi Klaus Ein mega -Bravo ! MfG H.R.Moser,megamath |
Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 495 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 20:21: |
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Hi Megamath Danke für die Blumen Aber mal nicht gleich übertreiben So schwierig war der Aufgabenteil ja nicht mehr.
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3197 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 22:19: |
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Hi Klaus, Ich werde die Schrauben schon bald wieder etwas anziehen! Trotzdem die Aufgabe nicht mehr schwierig erschien,war ich begeîstert,dass unsere Resultate so schön übereinstimmen. Auch die Bemerkung in Bezug auf Madrid scheint richtig zu sein ! MfG H.R.Moser,megamath MfG H.R.Moser,megamath |